数学2 円と直線 問題 2 解説

方針・初手

円上の点における接線の方程式から交点 P の座標を求める。次に、円の外部の点から引いた2接線の接点 Q, R を通る直線の方程式を、接点の座標を文字でおくことで導出し、その直線が点 P を通ることを確認する。

解法1

円 $x^2+y^2=a^2$ 上の点 $(b, \sqrt{a^2-b^2})$ における接線の方程式は、

$$bx + \sqrt{a^2-b^2}y = a^2$$

である。この接線と $x$ 軸との交点 P の座標を求めるために $y=0$ を代入すると、

$$bx = a^2$$

となる。$a>b>0$ より $b \neq 0$ であるから、

$$x = \frac{a^2}{b}$$

を得る。したがって、点 P の座標は $\left(\frac{a^2}{b}, 0\right)$ である。

次に、円の外部の点 $(b, c)$ から円 $x^2+y^2=a^2$ に引いた2本の接線の接点を $\mathrm{Q}(x_1, y_1), \mathrm{R}(x_2, y_2)$ とおく。

点 Q における接線の方程式は、

$$x_1 x + y_1 y = a^2$$

と表される。この接線は点 $(b, c)$ を通るので、

$$b x_1 + c y_1 = a^2$$

が成り立つ。

同様に、点 R における接線の方程式は $x_2 x + y_2 y = a^2$ であり、これも点 $(b, c)$ を通るので、

$$b x_2 + c y_2 = a^2$$

が成り立つ。

これら2つの等式は、2点 $\mathrm{Q}(x_1, y_1), \mathrm{R}(x_2, y_2)$ が直線

$$bx + cy = a^2$$

上にあることを示している。異なる2点を通る直線はただ1つに定まるため、これが直線 QR の方程式である。

最後に、この直線 QR が点 P を通るか確認する。直線 QR の方程式の左辺に点 P の座標 $x = \frac{a^2}{b}, y = 0$ を代入すると、

$$b \cdot \frac{a^2}{b} + c \cdot 0 = a^2$$

となり、右辺と一致する。

したがって、2点 Q, R を通る直線は点 P を通ることが示された。

解説

円の外部の点から引いた2本の接線の接点を通る直線（極線）の方程式を求める典型問題である。接点の座標を文字でおいて接線の方程式を作り、それが外部の点を通るという条件式を導く。その後、得られた条件式の定数部分を $x, y$ と読み替えて直線の方程式とみなすことで、求める直線の方程式が容易に得られる。この考え方は非常に強力であり、接点の座標を具体的に求めようとすると計算が著しく煩雑になるため、必ず習得しておきたい手法である。

答え

円上の点における接線と $x$ 軸の交点 P の座標が $\left(\frac{a^2}{b}, 0\right)$ であることを導いた。

接点 Q, R の座標を文字でおくことで、直線 QR の方程式が $bx + cy = a^2$ となることを示した。

直線 QR の方程式に点 P の座標を代入して等式が成り立つことから、直線 QR が点 P を通ることを証明した。