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数学2 距離問題 1 解説

方針・初手

(1) は点 $\text{P}$ の座標を $(x, x^2-1)$ と設定し、$\text{PA}^2-\text{PB}^2$ を $x$ の式として表す。得られた2次関数の最大値を求める。

(2) は $\text{PA}+\text{PB}$ の図形的な意味を考える。2点 $\text{A, B}$ を結ぶ最短経路は線分 $\text{AB}$ であるため、放物線と線分 $\text{AB}$ が交点をもつかどうかを調べる。交点をもつならば、その交点が求める点 $\text{P}$ であり、最小値は線分 $\text{AB}$ の長さとなる。

解法1

(1)

点 $\text{P}$ は放物線 $y=x^2-1$ 上の点であるから、その座標を $(x, x^2-1)$ とおく。 $\text{A}(4, 4)$、$\text{B}(-4, 0)$ より、それぞれの距離の2乗は次のようになる。

$$\text{PA}^2 = (x - 4)^2 + (x^2 - 1 - 4)^2 = (x - 4)^2 + (x^2 - 5)^2$$

$$\text{PB}^2 = (x + 4)^2 + (x^2 - 1 - 0)^2 = (x + 4)^2 + (x^2 - 1)^2$$

ここで、$\text{PA}^2 - \text{PB}^2$ を計算する。

$$\begin{aligned} \text{PA}^2 - \text{PB}^2 &= \{ (x - 4)^2 + (x^2 - 5)^2 \} - \{ (x + 4)^2 + (x^2 - 1)^2 \} \\ &= \{ (x - 4)^2 - (x + 4)^2 \} + \{ (x^2 - 5)^2 - (x^2 - 1)^2 \} \\ &= (-16x) + \{ (x^4 - 10x^2 + 25) - (x^4 - 2x^2 + 1) \} \\ &= -16x - 8x^2 + 24 \\ &= -8(x^2 + 2x) + 24 \\ &= -8(x + 1)^2 + 32 \end{aligned}$$

したがって、$\text{PA}^2 - \text{PB}^2$ は $x = -1$ のとき最大値 $32$ をとる。このとき、点 $\text{P}$ の $y$ 座標は $y = (-1)^2 - 1 = 0$ である。よって、最大値は $32$、そのときの点 $\text{P}$ の座標は $(-1, 0)$ である。

(2)

任意の点 $\text{P}$ に対して、三角不等式より $\text{PA} + \text{PB} \geqq \text{AB}$ が成り立つ。等号が成立するのは、点 $\text{P}$ が線分 $\text{AB}$ 上にあるときである。 2点 $\text{A}(4, 4)$、$\text{B}(-4, 0)$ を通る直線の方程式は、

$$y - 0 = \frac{4 - 0}{4 - (-4)} (x - (-4))$$

$$y = \frac{1}{2}(x + 4) = \frac{1}{2}x + 2$$

この直線と放物線 $y = x^2 - 1$ の交点の $x$ 座標は、次の方程式の解である。

$$x^2 - 1 = \frac{1}{2}x + 2$$

両辺を2倍して整理する。

$$2x^2 - x - 6 = 0$$

$$(2x + 3)(x - 2) = 0$$

$$x = -\frac{3}{2}, 2$$

線分 $\text{AB}$ 上の点の $x$ 座標の範囲は $-4 \leqq x \leqq 4$ であり、求めた2つの解はともにこの範囲に含まれる。よって、線分 $\text{AB}$ と放物線は2点で交わり、点 $\text{P}$ がそのいずれかの交点に一致するとき、$\text{PA} + \text{PB}$ は最小となる。最小値は線分 $\text{AB}$ の長さであるから、

$$\text{AB} = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$

そのときの点 $\text{P}$ の座標は、交点の $x$ 座標を放物線の方程式に代入して求める。

$x = 2$ のとき、$y = 2^2 - 1 = 3$

$x = -\frac{3}{2}$ のとき、$y = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 1 = \frac{5}{4}$

よって、点 $\text{P}$ の座標は $(2, 3)$ および $\left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{4}\right)$ である。

解説

(1) は、文字通り計算を進めることで2次関数の最大・最小問題に帰着できる。点 $\text{P}$ の $x$ 座標に対する特別な制限（定義域）はないため、頂点がそのまま最大値を与える。式の展開においては、計算ミスを防ぐために丁寧に整理することが重要である。

(2) は、「2点からの距離の和の最小値」という典型的なテーマである。点 $\text{A, B}$ が直線などに対して同じ側にある場合は対称点をとる手法がよく用いられるが、本問では放物線自体が線分 $\text{AB}$ と交わる。したがって、線分 $\text{AB}$ と放物線の交点がそのまま求める点 $\text{P}$ となることに気づけるかがポイントである。交点が線分上（すなわち点 $\text{A}$ と点 $\text{B}$ の間）にあることの確認を怠らないようにしたい。