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数学2 距離問題 2 解説

方針・初手

(1) 直線 $\text{AB}$ の方程式を求め、点と直線の距離の公式を用いて点 $\text{C}$ との距離を計算する。

(2) 線分 $\text{AB}$ の長さを三角形の底辺とみなすと、(1)で求めた距離がそのまま高さとなる。これを用いて $\triangle\text{ABC}$ の面積を求める。

(3) 外接円の方程式を一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおき、3点 $\text{A}$、$\text{B}$、$\text{C}$ の座標を代入して未定係数 $l, m, n$ を決定する方針が自然である。

解法1

(1) 点 $\text{A}(3, 0)$、$\text{B}(0, 6)$ を通る直線 $\text{AB}$ の方程式は、切片形を用いると、

$$\frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 1$$

すなわち、

$$2x + y - 6 = 0$$

である。直線 $\text{AB}$ と点 $\text{C}(4, 3)$ との距離 $d$ は、点と直線の距離の公式より、

$$d = \frac{|2 \cdot 4 + 1 \cdot 3 - 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|8 + 3 - 6|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$$

(2) 線分 $\text{AB}$ の長さは、

$$\text{AB} = \sqrt{(0 - 3)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

$\triangle\text{ABC}$ の面積 $S$ は、線分 $\text{AB}$ を底辺とすると、(1)で求めた距離 $d$ が高さとなるため、

$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{AB} \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \frac{15}{2}$$

(3) $\triangle\text{ABC}$ の外接円の方程式を、

$$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$$

とおく。この円が3点 $\text{A}(3, 0)$、$\text{B}(0, 6)$、$\text{C}(4, 3)$ を通るため、それぞれの座標を代入して、

$$\begin{cases} 3^2 + 0^2 + 3l + n = 0 \\ 0^2 + 6^2 + 6m + n = 0 \\ 4^2 + 3^2 + 4l + 3m + n = 0 \end{cases}$$

整理すると、

$$\begin{cases} 3l + n + 9 = 0 \quad \cdots \text{①} \\ 6m + n + 36 = 0 \quad \cdots \text{②} \\ 4l + 3m + n + 25 = 0 \quad \cdots \text{③} \end{cases}$$

①より $n = -3l - 9$。これを②、③に代入する。 ②より、

$$6m - 3l - 9 + 36 = 0 \iff m = \frac{1}{2}l - \frac{9}{2}$$

③より、

$$4l + 3\left(\frac{1}{2}l - \frac{9}{2}\right) - 3l - 9 + 25 = 0$$

$$\frac{5}{2}l + \frac{5}{2} = 0$$

これより $l = -1$ を得る。このとき、$m = \frac{1}{2}(-1) - \frac{9}{2} = -5$、$n = -3(-1) - 9 = -6$ となる。したがって、求める外接円の方程式は、

$$x^2 + y^2 - x - 5y - 6 = 0$$

である。この式を変形して外心の座標を求める。

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \left(y - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} - 6 = 0$$

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{2}$$

となるため、外心の座標は $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$ である。

解法2

(3)の別解 三角形の外心は、各辺の垂直二等分線の交点であることを利用する。線分 $\text{AB}$ の中点は $\left(\frac{3}{2}, 3\right)$ であり、直線 $\text{AB}$ の傾きは $\frac{6 - 0}{0 - 3} = -2$ である。したがって、線分 $\text{AB}$ の垂直二等分線の方程式は、

$$y - 3 = \frac{1}{2}\left(x - \frac{3}{2}\right) \iff y = \frac{1}{2}x + \frac{9}{4} \quad \cdots \text{④}$$

また、線分 $\text{AC}$ の中点は $\left(\frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right)$ であり、直線 $\text{AC}$ の傾きは $\frac{3 - 0}{4 - 3} = 3$ である。したがって、線分 $\text{AC}$ の垂直二等分線の方程式は、

$$y - \frac{3}{2} = -\frac{1}{3}\left(x - \frac{7}{2}\right) \iff y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3} \quad \cdots \text{⑤}$$

④と⑤の交点が外心である。連立して解くと、

$$\frac{1}{2}x + \frac{9}{4} = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$$

$$\frac{5}{6}x = \frac{5}{12} \implies x = \frac{1}{2}$$

これを④に代入して、$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{9}{4} = \frac{5}{2}$ を得る。よって、外心の座標は $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$ である。

外接円の半径 $r$ の2乗は、外心から点 $\text{A}(3, 0)$ までの距離の2乗に等しいから、

$$r^2 = \left(3 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} + \frac{25}{4} = \frac{25}{2}$$

したがって、外接円の方程式は、

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{2}$$

となる（展開して $x^2 + y^2 - x - 5y - 6 = 0$ としてもよい）。

解説

図形と方程式の分野における、点と直線の距離、三角形の面積、円の方程式に関する標準的な問題である。 (1)の結果を(2)の高さとして利用する明確な誘導がついているため、それに従って素直に計算を進めればよい。 (3)において、外接円の方程式を求める方法は主に「円の一般形に3点を代入する」「2辺の垂直二等分線の交点（外心）を求める」の2通りがある。本問ではどちらで計算しても手間はそれほど変わらないが、解法2の手法を知っておくと計算ミスを防ぐための検算手段として有用である。