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数学2 直線問題 1 解説

方針・初手

与えられた連立方程式から、交点となる4点の座標を定義し、それらが平行四辺形をなす条件を図形的に考察する。平行四辺形の対辺は互いに平行である性質から、4つの直線 $l_1, l_2, m_1, m_2$ のうちどれが対角線を含み、どれが辺を含むかを論理的に絞り込むことが最初のステップである。交点の座標を文字で置いて計算すると膨大になるため、図形の対称性を利用して解き進める。

解法1

連立方程式の第1式から、点 $(x, y)$ は以下の2直線のいずれかの上にある。 $l_1: x+2y-6=0$ $l_2: x-3y-1=0$

第2式から、点 $(x, y)$ は以下の2直線のいずれかの上にある（$a \neq 0$）。 $m_1: ax-y-9=0$ $m_2: \frac{x}{a}-y+b=0$

これらを同時に満たす4点は、以下の交点として表される。 $A = l_1 \cap m_1$ $B = l_1 \cap m_2$ $C = l_2 \cap m_1$ $D = l_2 \cap m_2$

これら4点がすべて異なり、平行四辺形の頂点をなすとき、どの2点を結ぶ線分が対角線になるかで以下の3つの場合が考えられる。

(i) 線分AB と線分CD が対辺となる四角形の場合 辺ABは直線 $l_1$ 上に、辺CDは直線 $l_2$ 上にある。平行四辺形の対辺は平行であるから $l_1 \parallel l_2$ でなければならない。しかし、$l_1$ の傾きは $-\frac{1}{2}$、$l_2$ の傾きは $\frac{1}{3}$ であり平行ではないため不適である。

(ii) 線分AC と線分BD が対角線となる四角形の場合 四角形の頂点は順に A, B, C, D となる（または A, D, C, B）。このとき辺は AB, BC, CD, DA となる。対辺である辺ABと辺CDは平行でなければならないため、同様に $l_1 \parallel l_2$ が要求され、不適である。

(iii) 線分AB と線分CD が対角線となる四角形の場合 残る可能性はこれのみである。対角線は直線 $l_1$ 上の線分ABと、直線 $l_2$ 上の線分CDとなる。平行四辺形の対角線は互いに他を2等分するため、対角線の交点は2つの対角線を含む直線 $l_1$ と $l_2$ の交点に一致する。

(1) $l_1$ と $l_2$ の交点を求める。

$$\begin{cases} x+2y-6=0 \\ x-3y-1=0 \end{cases}$$

これを解いて $x=4, y=1$ である。よって、対角線の交点の座標は $(4, 1)$ となる。

(2) 対角線の交点 $M(4, 1)$ は平行四辺形の対称の中心である。頂点AとBは点 $M$ に関して対称であり、頂点CとDも点 $M$ に関して対称である。点Aと点Cは直線 $m_1: ax-y-9=0$ 上にあり、点Bと点Dは直線 $m_2: \frac{x}{a}-y+b=0$ 上にある。したがって、直線 $m_1$ と直線 $m_2$ は点 $M(4, 1)$ に関して対称な位置関係にある。

直線 $m_1$ を $y = ax - 9$ と変形する。この直線上の点 $(x, y)$ と点 $M(4, 1)$ に関して対称な点の座標は $(8-x, 2-y)$ である。これが直線 $m_2$ 上にあるため、以下が成り立つ。

$$2-y = a(8-x) - 9$$

整理すると、

$$y = ax - 8a + 11$$

これが直線 $m_2: y = \frac{1}{a}x + b$ と一致する。傾きと $y$切片がそれぞれ等しいので、

$$\begin{cases} a = \frac{1}{a} \\ -8a + 11 = b \end{cases}$$

第1式より $a^2 = 1$、$a \neq 0$ とあわせて $a = \pm 1$ を得る。これを第2式に代入して、以下の2組の解を得る。

$a=1$ のとき、$b = 3$ $a=-1$ のとき、$b = 19$

これらはいずれの場合も4交点がすべて異なる点となり、平行四辺形を構成するため条件を満たす。

解説

2次曲線（本問では2直線の積）の交点がなす図形に関する問題である。交点座標を具体的に $a$ と $b$ を用いて表そうとすると計算が非常に煩雑になり、試験時間内に解き切るのが困難になる。平行ではない2直線 $l_1, l_2$ 上にそれぞれ2つの頂点が乗っていることから、「$l_1, l_2$ は辺ではなく対角線である」と見抜けるかが最大のポイントである。図形の対称性（平行四辺形は対角線の交点に関して点対称）を利用することで、鮮やかに処理できる。