数学2 直線 問題 2 解説

方針・初手

点の対称移動の規則を用いる。 $x$ 軸に関する対称移動では $y$ 座標の符号が反転する。 直線 $y=x$ に関する対称移動では $x$ 座標と $y$ 座標が入れ替わる。 2点が直線 $l$ に関して対称である条件は、2点の中点が $l$ 上にあり、2点を通る直線が $l$ と垂直に交わることである。

解法1

点 $\text{A}(3, -1)$ と $x$ 軸に関して対称な点 $\text{B}$ の座標は、$y$ 座標の符号を反転させて

$$\text{B}(3, 1)$$

である。 次に、点 $\text{B}(3, 1)$ と直線 $y=x$ に関して対称な点 $\text{C}$ の座標は、$x$ 座標と $y$ 座標を入れ替えて

$$\text{C}(1, 3)$$

となる。したがって、アは $1$、イは $3$ である。

点 $\text{A}(3, -1)$ と点 $\text{C}(1, 3)$ が直線 $y=mx+n$ に関して対称であるとき、この直線は線分 $\text{AC}$ の垂直二等分線である。 線分 $\text{AC}$ の中点を $\text{M}$ とすると、その座標は

$$\left( \frac{3+1}{2}, \frac{-1+3}{2} \right) = (2, 1)$$

である。この点 $\text{M}$ は直線 $y=mx+n$ 上にあるため、

$$1 = 2m + n \quad \cdots \text{①}$$

が成り立つ。 また、直線 $\text{AC}$ の傾きは

$$\frac{3 - (-1)}{1 - 3} = \frac{4}{-2} = -2$$

である。直線 $y=mx+n$ は直線 $\text{AC}$ と垂直に交わるため、傾きの積が $-1$ となる。すなわち、

$$-2m = -1$$

$$m = \frac{1}{2}$$

である。これを①に代入すると、

$$1 = 2 \cdot \frac{1}{2} + n$$

$$n = 0$$

となる。したがって、ウは $\frac{1}{2}$、エは $0$ である。

解説

座標平面上の基本的な対称移動の規則と、2点が直線に関して対称である条件（垂直条件および中点条件）を利用する標準的な問題である。 各対称移動について、どのような座標の変化が起こるかを正確に把握しておけば容易に解くことができる。暗記に頼らずとも、図を描いて考えれば座標の変換規則はすぐに導出できる。

答え

ア：$1$

イ：$3$

ウ：$\frac{1}{2}$

エ：$0$