数学2 直線 問題 6 解説

方針・初手

内分点の座標公式、中点の座標公式を適用して各点の座標を求める。垂直な直線の方程式については、2直線の垂直条件から傾きを求め、通る点の座標を用いて立式する。

解法1

2点 $A(-1, 1)$, $B(3, 5)$ を結ぶ線分 $AB$ を $3:1$ に内分する点 $P$ の $x$ 座標は、

$$\frac{1 \cdot (-1) + 3 \cdot 3}{3 + 1} = \frac{-1 + 9}{4} = 2$$

$y$ 座標は、

$$\frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 5}{3 + 1} = \frac{1 + 15}{4} = 4$$

である。よって、点 $P$ の座標は $(2, 4)$ となる。

次に、線分 $AB$ の中点 $M$ の $x$ 座標は、

$$\frac{-1 + 3}{2} = 1$$

$y$ 座標は、

$$\frac{1 + 5}{2} = 3$$

である。よって、中点 $M$ の座標は $(1, 3)$ となる。

また、直線 $AB$ の傾き $m$ は、

$$m = \frac{5 - 1}{3 - (-1)} = 1$$

である。求める直線は線分 $AB$ に垂直であるから、その傾きを $m'$ とすると、$m \cdot m' = -1$ より、

$$m' = -1$$

となる。したがって、点 $M(1, 3)$ を通り、傾き $-1$ の直線の方程式は、

$$y - 3 = -1(x - 1)$$

これを整理して、

$$y = -x + 4$$

となる。

解説

図形と方程式における基本的な座標計算と、直線の垂直条件を問う問題である。

内分点の公式 $\left(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n}\right)$ と、2直線が垂直であるときの傾きの条件 $m_1 m_2 = -1$ を正確に適用すればよい。点 $M$ を通り線分 $AB$ に垂直な直線は、線分 $AB$ の垂直二等分線でもある。

答え

[ア] 2

[イ] 4

[ウ] 1

[エ] 3

[オ] $-x+4$