数学2 直線 問題 7 解説

方針・初手

点 $\text{A}(a, 0)$ と点 $\text{B}(0, b)$ を結ぶ線分上にある点の座標を求めることから始める。$a > 0, b > 0$ より $\angle\text{AOB} = \frac{\pi}{2}$ であるため、$\angle\text{AOB}$ を3等分する直線 $\text{OP}, \text{OQ}$ の傾きはそれぞれ $\tan\frac{\pi}{6}$ と $\tan\frac{\pi}{3}$ となる。各直線の方程式を立てて連立し、交点の座標を求める。 後半は、求めた座標を用いて三角形の面積を計算し、不等式を評価する。式の評価では、実数の2乗和の性質や相加・相乗平均の関係を利用する。

解法1

(1) 点 $\text{A}(a, 0)$、点 $\text{B}(0, b)$ （ただし $a>0, b>0$）であるから、$\angle\text{AOB} = \frac{\pi}{2}$ である。 直線 $\text{OP}$、$\text{OQ}$ は $\angle\text{AOB}$ を3等分し、$\angle\text{AOP} < \angle\text{AOQ}$ であることから、直線 $\text{OP}$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角は $\frac{\pi}{6}$、直線 $\text{OQ}$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角は $\frac{\pi}{3}$ となる。 したがって、直線の傾きはそれぞれ $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$、$\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ であるから、各直線の方程式は以下のようになる。

直線 $\text{OP}$:

$$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$$

直線 $\text{OQ}$:

$$y = \sqrt{3}x$$

また、点 $\text{A}$、$\text{B}$ を通る直線 $\text{AB}$ の方程式は次のように表される。

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

点 $\text{P}$ は直線 $\text{OP}$ と直線 $\text{AB}$ の交点であるから、$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ を直線 $\text{AB}$ の方程式に代入する。

$$\frac{x}{a} + \frac{x}{\sqrt{3}b} = 1$$

$$\frac{\sqrt{3}b + a}{\sqrt{3}ab}x = 1$$

$$x = \frac{\sqrt{3}ab}{a + \sqrt{3}b}$$

これを $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ に代入して、

$$y = \frac{ab}{a + \sqrt{3}b}$$

よって、点 $\text{P}$ の座標は $\left( \frac{\sqrt{3}ab}{a + \sqrt{3}b}, \frac{ab}{a + \sqrt{3}b} \right)$ である。

次に、点 $\text{Q}$ は直線 $\text{OQ}$ と直線 $\text{AB}$ の交点であるから、$y = \sqrt{3}x$ を直線 $\text{AB}$ の方程式に代入する。

$$\frac{x}{a} + \frac{\sqrt{3}x}{b} = 1$$

$$\frac{b + \sqrt{3}a}{ab}x = 1$$

$$x = \frac{ab}{\sqrt{3}a + b}$$

これを $y = \sqrt{3}x$ に代入して、

$$y = \frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{3}a + b}$$

よって、点 $\text{Q}$ の座標は $\left( \frac{ab}{\sqrt{3}a + b}, \frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{3}a + b} \right)$ である。

(2) $\triangle\text{POQ}$ の面積を $S$ とする。原点 $\text{O}$ および点 $\text{P}, \text{Q}$ の座標を用いて三角形の面積公式を適用する。

$$S = \frac{1}{2} \left| \frac{\sqrt{3}ab}{a + \sqrt{3}b} \cdot \frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{3}a + b} - \frac{ab}{a + \sqrt{3}b} \cdot \frac{ab}{\sqrt{3}a + b} \right|$$

$$S = \frac{1}{2} \left| \frac{3a^2b^2 - a^2b^2}{(a + \sqrt{3}b)(\sqrt{3}a + b)} \right|$$

$$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a^2b^2}{\sqrt{3}a^2 + ab + 3ab + \sqrt{3}b^2}$$

$$S = \frac{a^2b^2}{\sqrt{3}a^2 + 4ab + \sqrt{3}b^2}$$

よって、$\triangle\text{POQ}$ の面積は $\frac{a^2b^2}{\sqrt{3}(a^2 + b^2) + 4ab}$ である。

(3) $\triangle\text{AOB}$ の面積は $\frac{1}{2}ab$ である。$\triangle\text{POQ}$ の面積が $\triangle\text{AOB}$ の面積の $\frac{1}{3}$ 倍より小さいことを示すため、差を計算して正であることを証明する。

$$\frac{1}{3}\triangle\text{AOB} - \triangle\text{POQ} = \frac{1}{6}ab - \frac{a^2b^2}{\sqrt{3}(a^2 + b^2) + 4ab}$$

通分して計算する。

$$= \frac{ab \{ \sqrt{3}(a^2 + b^2) + 4ab \} - 6a^2b^2}{6 \{ \sqrt{3}(a^2 + b^2) + 4ab \}}$$

$$= \frac{\sqrt{3}ab(a^2 + b^2) - 2a^2b^2}{6 \{ \sqrt{3}(a^2 + b^2) + 4ab \}}$$

$$= \frac{ab \{ \sqrt{3}(a^2 + b^2) - 2ab \}}{6 \{ \sqrt{3}(a^2 + b^2) + 4ab \}}$$

ここで、$a > 0, b > 0$ であるため、分母 $6 \{ \sqrt{3}(a^2 + b^2) + 4ab \} > 0$ および $ab > 0$ は明らかである。 分子の括弧内の式について評価する。実数の性質より $(a-b)^2 \geqq 0$ であるから、展開して整理すると $a^2 + b^2 \geqq 2ab$ が成り立つ。（相加・相乗平均の関係から導くこともできる） これを用いると、$\sqrt{3} > 1$ であることと $ab > 0$ から次のように評価できる。

$$\sqrt{3}(a^2 + b^2) - 2ab \geqq \sqrt{3}(2ab) - 2ab = 2(\sqrt{3} - 1)ab > 0$$

よって、分子も正であることが示されたため、全体の式は正となる。

$$\frac{1}{3}\triangle\text{AOB} - \triangle\text{POQ} > 0$$

すなわち、$\triangle\text{POQ} < \frac{1}{3}\triangle\text{AOB}$ が成り立つことが示された。

解説

(1)と(2)は、座標平面上の基本的な直線の方程式と三角形の面積公式を用いた計算問題である。直線 $\text{OP}$ と $\text{OQ}$ の傾きが三角比を用いて直ちに求められることに気づけば、機械的な計算で処理できる。 (2)の別のアプローチとして、2点間の距離の公式を用いて線分 $\text{OP}$ と $\text{OQ}$ の長さを求め、面積公式 $S = \frac{1}{2} \text{OP} \cdot \text{OQ} \sin\frac{\pi}{6}$ を用いる方法も有効である。計算量はほとんど変わらない。 (3)の不等式の証明では、大小関係を示すために差をとることが定石である。分母を払い、式を整理したのちに「$a^2 + b^2$ と $ab$ の関係」に着目できるかどうかが鍵となる。平方の和は常に $2ab$ 以上になるという基本性質を利用することで、簡潔に評価を下すことができる。

答え

(1) $\text{P} \left( \frac{\sqrt{3}ab}{a + \sqrt{3}b}, \frac{ab}{a + \sqrt{3}b} \right)$, $\text{Q} \left( \frac{ab}{\sqrt{3}a + b}, \frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{3}a + b} \right)$

(2) $\frac{a^2b^2}{\sqrt{3}a^2 + 4ab + \sqrt{3}b^2}$

(3) 解答の通り（差をとって正であることを、$a^2 + b^2 \geqq 2ab$ などの関係を用いて証明した）