トップ› 基礎問題› 数学2› 図形と式› 直線› 問題 12

数学2 直線問題 12 解説

方針・初手

(1) 三角形の頂点を通る直線が面積を2等分する条件は、その直線が対辺の中点を通ることである。点 $\text{B}$ を通り、線分 $\text{OA}$ の中点を通る直線を求める。

(2) 点 $\text{P}(1, 2)$ が線分 $\text{OA}$ 上にあることを確認する。求める直線が $\triangle\text{OAB}$ のどの辺と交わるかを面積比から特定し、交点の座標を求める。または、交点を文字で置き、座標から直接面積を計算して方程式を立てる。

解法1

(1) 直線が $\triangle\text{OAB}$ の面積を $2$ 等分するためには、点 $\text{B}$ と辺 $\text{OA}$ の中点を通ればよい。辺 $\text{OA}$ の中点を $\text{M}$ とすると、点 $\text{O}(0, 0)$、$\text{A}(4, 8)$ より、点 $\text{M}$ の座標は

$$\left( \frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + 8}{2} \right) = (2, 4)$$

である。求める直線は $2$ 点 $\text{B}(-2, 11)$、$\text{M}(2, 4)$ を通る直線なので、その方程式は

$$y - 4 = \frac{11 - 4}{-2 - 2} (x - 2)$$

$$y - 4 = -\frac{7}{4} (x - 2)$$

$$4y - 16 = -7x + 14$$

$$7x + 4y - 30 = 0$$

(2) $\text{O}(0, 0)$、$\text{A}(4, 8)$ であるから、直線 $\text{OA}$ の方程式は $y = 2x$ である。点 $\text{P}(1, 2)$ はこの直線上にあり、その $x$ 座標について $0 \le 1 \le 4$ を満たすので、点 $\text{P}$ は線分 $\text{OA}$ 上の点である。また、線分の長さの比は $\text{OP} : \text{PA} = 1 : (4 - 1) = 1 : 3$ となる。

求める直線を $\ell$ とする。直線 $\ell$ は $\triangle\text{OAB}$ の内部を通り、点 $\text{P}$ 以外の交点を $\text{Q}$ とすると、$\text{Q}$ は辺 $\text{OB}$ または辺 $\text{AB}$ 上にある。ここで、$\triangle\text{OPB}$ の面積について考えると、高さが共通であるから、

$$\triangle\text{OPB} = \frac{1}{1 + 3} \triangle\text{OAB} = \frac{1}{4} \triangle\text{OAB}$$

これは $\triangle\text{OAB}$ の面積の半分より小さい。したがって、直線 $\ell$ は線分 $\text{OB}$ とは交わらず、線分 $\text{AB}$ 上で交わることがわかる。交点 $\text{Q}$ は線分 $\text{AB}$ 上にあり、直線 $\ell$ は $\triangle\text{OAB}$ を $\triangle\text{PAQ}$ と四角形 $\text{OPQB}$ に分割する。 $\triangle\text{PAQ}$ の面積が $\triangle\text{OAB}$ の面積の半分になればよい。

$\triangle\text{PAB}$ の面積は、$\text{OP} : \text{PA} = 1 : 3$ より、

$$\triangle\text{PAB} = \frac{3}{4} \triangle\text{OAB}$$

である。さらに、点 $\text{Q}$ は線分 $\text{AB}$ 上にあるから、$\triangle\text{PAQ}$ と $\triangle\text{PAB}$ の面積比は底辺 $\text{AQ}$ と $\text{AB}$ の長さの比に等しい。よって、

$$\triangle\text{PAQ} = \frac{\text{AQ}}{\text{AB}} \triangle\text{PAB} = \frac{\text{AQ}}{\text{AB}} \cdot \frac{3}{4} \triangle\text{OAB}$$

これが $\frac{1}{2} \triangle\text{OAB}$ と等しくなるので、

$$\frac{3}{4} \frac{\text{AQ}}{\text{AB}} = \frac{1}{2}$$

$$\frac{\text{AQ}}{\text{AB}} = \frac{2}{3}$$

すなわち、点 $\text{Q}$ は線分 $\text{AB}$ を $2 : 1$ に内分する点である。点 $\text{A}(4, 8)$、$\text{B}(-2, 11)$ より、点 $\text{Q}$ の座標は

$$\left( \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot (-2)}{2 + 1}, \frac{1 \cdot 8 + 2 \cdot 11}{2 + 1} \right) = \left( \frac{0}{3}, \frac{30}{3} \right) = (0, 10)$$

求める直線 $\ell$ は $2$ 点 $\text{P}(1, 2)$、$\text{Q}(0, 10)$ を通る直線であるから、その方程式は

$$y - 2 = \frac{10 - 2}{0 - 1} (x - 1)$$

$$y - 2 = -8 (x - 1)$$

$$y = -8x + 10$$

解法2

(2) の別解として、座標平面上の三角形の面積公式を用いて直接計算する。 $\triangle\text{OAB}$ の面積を $S$ とすると、

$$S = \frac{1}{2} | 4 \cdot 11 - 8 \cdot (-2) | = \frac{1}{2} | 44 + 16 | = 30$$

点 $\text{P}(1, 2)$ は直線 $\text{OA} : y = 2x$ 上にあり、$x$ 座標の範囲から線分 $\text{OA}$ 上の点である。点 $\text{P}$ を通る直線が線分 $\text{OB}$ と交わると仮定し、その交点を $\text{R}$ とすると、$\triangle\text{OPR}$ の面積の最大値は $\text{R}$ が $\text{B}$ に一致するときの $\triangle\text{OPB}$ の面積である。 $\text{OP} : \text{OA} = \sqrt{1^2+2^2} : \sqrt{4^2+8^2} = \sqrt{5} : 4\sqrt{5} = 1 : 4$ より、

$$\triangle\text{OPB} = \frac{1}{4} S = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}$$

これは面積の半分である $15$ に満たないため、面積を $2$ 等分する直線は線分 $\text{OB}$ ではなく線分 $\text{AB}$ と交わる。その交点を $\text{Q}$ とする。直線 $\text{AB}$ の方程式は

$$y - 8 = \frac{11 - 8}{-2 - 4} (x - 4)$$

$$y = -\frac{1}{2}x + 10$$

点 $\text{Q}$ はこの直線上にあるので、その座標を $\left( q, -\frac{1}{2}q + 10 \right)$ とおける。（ただし、点 $\text{Q}$ は線分 $\text{AB}$ 上にあるため $-2 \le q \le 4$）条件より、$\triangle\text{PAQ}$ の面積が $\frac{S}{2} = 15$ となればよい。点 $\text{P}(1, 2)$ を原点 $(0, 0)$ に平行移動したとき、点 $\text{A}(4, 8)$ と点 $\text{Q}\left( q, -\frac{1}{2}q + 10 \right)$ の移動先をそれぞれ $\text{A}', \text{Q}'$ とすると、

$$\text{A}'(3, 6), \quad \text{Q}'\left( q - 1, -\frac{1}{2}q + 8 \right)$$

$\triangle\text{PAQ}$ の面積は $\triangle\text{P}'\text{A}'\text{Q}'$ の面積に等しいので、

$$\triangle\text{PAQ} = \frac{1}{2} \left| 3 \left( -\frac{1}{2}q + 8 \right) - 6(q - 1) \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{3}{2}q + 24 - 6q + 6 \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{15}{2}q + 30 \right|$$

これが $15$ に等しいので、

$$\frac{1}{2} \left| -\frac{15}{2}q + 30 \right| = 15$$

$$\left| -\frac{15}{2}q + 30 \right| = 30$$

$$-\frac{15}{2}q + 30 = \pm 30$$

したがって、$-\frac{15}{2}q = 0$ または $-\frac{15}{2}q = -60$ となり、 $q = 0, 8$ を得る。 $-2 \le q \le 4$ を満たすのは $q = 0$ のみである。このとき、点 $\text{Q}$ の座標は $(0, 10)$ となる。求める直線は $2$ 点 $\text{P}(1, 2)$、$\text{Q}(0, 10)$ を通る直線であるから、その方程式は

$$y - 2 = \frac{10 - 2}{0 - 1} (x - 1)$$

$$y = -8x + 10$$

解説

三角形の面積を $2$ 等分する直線を求める典型問題である。 (1)のように、三角形のいずれかの頂点を通る直線の場合は、対辺の中点を通るように直線を引けばよい。 (2)のように、辺上の任意の点を通る直線の場合は、面積比と辺の長さの比の関係（高さが等しい三角形の面積比は底辺の長さの比に等しいこと）を利用して図形的に解く方法（解法1）が最も簡明である。また、座標平面上の問題であるため、各点の座標から面積を直接立式して方程式を解く代数的なアプローチ（解法2）も有効である。いずれの場合も、求める直線が三角形のどの辺と交わるかを事前に確認しておくことが重要である。