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数学2 線形計画法問題 2 解説

方針・初手

与えられた分数式 $\frac{y+1}{x+3}$ の値を $k$ とおき、$xy$ 平面上の図形的な意味を考える。この式は $y = k(x+3) - 1$ と変形でき、定点 $(-3, -1)$ を通り傾きが $k$ の直線群を表す。与えられた連立不等式が表す領域と、この直線が共有点をもつための傾き $k$ のとりうる値の範囲を調べることで最大値と最小値を求める。

解法1

連立不等式 $x^2 + y \leqq 2$、$y \geqq 0$ が表す領域を $D$ とする。これは、放物線 $y = -x^2 + 2$ の下側と $x$ 軸の上側の共通部分（境界線を含む）である。放物線と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$-x^2 + 2 = 0$ を解いて $x = \pm\sqrt{2}$ である。

$\frac{y+1}{x+3} = k$ とおくと、

$$y = k(x+3) - 1$$

となる。これは定点 $A(-3, -1)$ を通り、傾きが $k$ の直線を表す。点 $A(-3, -1)$ の $x$ 座標と $y$ 座標について、$-3 < -\sqrt{2}$ かつ $-1 < 0$ であるため、点 $A$ は領域 $D$ の外部（左下）に位置する。直線と領域 $D$ が共有点をもつ条件のもとで、傾き $k$ の最大値と最小値を図形的に考える。

(i) 最大値について

点 $A$ から領域 $D$ を見込んだとき、傾き $k$ が最大となるのは、直線が放物線 $y = -x^2 + 2$ の $y \geqq 0$ の部分と接するときである。放物線の方程式と直線の方程式から $y$ を消去して、

$$-x^2 + 2 = k(x+3) - 1$$

$$x^2 + kx + 3k - 3 = 0$$

この $x$ についての2次方程式の判別式を $D'$ とすると、接するとき $D' = 0$ となる。

$$D' = k^2 - 4(3k - 3) = k^2 - 12k + 12 = 0$$

これを解いて、

$$k = 6 \pm 2\sqrt{6}$$

接点の $x$ 座標は、重解 $x = -\frac{k}{2}$ で与えられる。 $k = 6 + 2\sqrt{6}$ のとき、$x = -3 - \sqrt{6} < -\sqrt{2}$ となり、接点が領域 $D$ の $x$ の範囲 $-\sqrt{2} \leqq x \leqq \sqrt{2}$ に含まれないため不適である。 $k = 6 - 2\sqrt{6}$ のとき、$x = -3 + \sqrt{6}$ となる。ここで $2 < \sqrt{6} < 3$ より、$-1 < -3 + \sqrt{6} < 0$ となり、$-\sqrt{2} \leqq x \leqq \sqrt{2}$ を満たす。またこのときの接点の $y$ 座標は、

$$y = -(-3 + \sqrt{6})^2 + 2 = -(15 - 6\sqrt{6}) + 2 = 6\sqrt{6} - 13$$

$\sqrt{216} > \sqrt{169}$ より $6\sqrt{6} - 13 > 0$ であり、$y \geqq 0$ の条件も満たす。よって、接点は領域 $D$ 内に存在し、傾きの最大値は $k = 6 - 2\sqrt{6}$ である。

(ii) 最小値について

傾き $k$ が最小となるのは、直線が領域 $D$ の右下の端点を通るときである。この端点は、放物線と $x$ 軸の交点 $(\sqrt{2}, 0)$ である。点 $(\sqrt{2}, 0)$ を通るときの傾き $k$ は、

$$k = \frac{0 + 1}{\sqrt{2} + 3} = \frac{3 - \sqrt{2}}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$$

よって、最小値は $\frac{3 - \sqrt{2}}{7}$ である。

解説

分数式 $\frac{y - y_0}{x - x_0}$ の値の最大・最小を求める問題では、式の値を $k$ とおいて「定点 $(x_0, y_0)$ と動点 $(x, y)$ を結ぶ直線の傾き」と解釈する図形的な手法が定石である。本問では、放物線と直線の接条件から傾きの候補を求めた後、その接点が実際に指定された領域の境界線上（$x$ 座標や $y$ 座標の範囲内）に存在するかどうかの十分性の確認を怠らないように注意が必要である。