数学2 軌跡 問題 2 解説

方針・初手

点に関する対称移動の基本的な考え方を用いる。求める図形上の点を $(x, y)$、元の曲線上の点を $(s, t)$ とおき、その中点が対称の中心である $(1, 2)$ になるという関係式を利用して軌跡を求めるのが標準的である。また、今回は元の図形が放物線であるため、頂点の移動と $x^2$ の係数の変化に着目する図形的なアプローチも有効である。

解法1

求める図形上の任意の点を $P(x, y)$ とし、この点と点 $(1, 2)$ に関して対称な点を $Q(s, t)$ とする。

点 $(1, 2)$ は線分 $PQ$ の中点であるから、以下の関係が成り立つ。

$$\frac{x + s}{2} = 1, \quad \frac{y + t}{2} = 2$$

これらを $s, t$ について解くと、

$$s = 2 - x$$

$$t = 4 - y$$

点 $Q(s, t)$ は元の曲線 $y = 2x^2 - 3x + 4$ 上の点であるため、

$$t = 2s^2 - 3s + 4$$

が成り立つ。この式に先ほどの $s, t$ を代入する。

$$4 - y = 2(2 - x)^2 - 3(2 - x) + 4$$

これを $y$ について整理していく。

$$-y = 2(4 - 4x + x^2) - 6 + 3x$$

$$-y = 8 - 8x + 2x^2 - 6 + 3x$$

$$-y = 2x^2 - 5x + 2$$

$$y = -2x^2 + 5x - 2$$

よって、求める図形の方程式が得られる。

解法2

元の曲線 $y = 2x^2 - 3x + 4$ は放物線である。これを平方完成して頂点の座標を求める。

$$y = 2\left(x^2 - \frac{3}{2}x\right) + 4$$

$$y = 2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 + 4$$

$$y = 2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{8} + \frac{32}{8}$$

$$y = 2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{23}{8}$$

これにより、元の放物線の頂点は $\left(\frac{3}{4}, \frac{23}{8}\right)$ であることがわかる。

この頂点と点 $(1, 2)$ に関して対称な位置にある点を $(p, q)$ とすると、中点の条件より、

$$\frac{\frac{3}{4} + p}{2} = 1 \implies \frac{3}{4} + p = 2 \implies p = \frac{5}{4}$$

$$\frac{\frac{23}{8} + q}{2} = 2 \implies \frac{23}{8} + q = 4 \implies q = 4 - \frac{23}{8} = \frac{9}{8}$$

よって、移動後の放物線の頂点は $\left(\frac{5}{4}, \frac{9}{8}\right)$ である。

また、放物線を点対称移動するとグラフの上下が反転するため、$x^2$ の係数の符号が反転する。元の $x^2$ の係数は $2$ なので、移動後の $x^2$ の係数は $-2$ となる。

したがって、求める放物線の方程式は、

$$y = -2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{9}{8}$$

と表せる。これを展開して一般形に直す。

$$y = -2\left(x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16}\right) + \frac{9}{8}$$

$$y = -2x^2 + 5x - \frac{25}{8} + \frac{9}{8}$$

$$y = -2x^2 + 5x - \frac{16}{8}$$

$$y = -2x^2 + 5x - 2$$

解説

点 $(a, b)$ に関する対称移動は、曲線上の点を $(X, Y)$、移動後の点を $(x, y)$ としたとき、$X = 2a - x$、$Y = 2b - y$ と置き換えることで求められる。これは公式として記憶しておくと計算が早い。

解法1は、どんな図形（円や三次関数など）に対しても通用する汎用性の高い方法である。軌跡を求める手順の基本となるため、必ずマスターしておきたい。

解法2は、放物線という図形の性質（頂点と開き具合）に特化したアプローチである。「点対称移動すると上に凸と下に凸が入れ替わるため、$x^2$ の係数の正負が逆転する」という性質を利用することで、代数的な計算ミスを減らしやすくなる利点がある。

答え

$y = -2x^2 + 5x - 2$