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数学2 軌跡問題 3 解説

方針・初手

3次関数が極大値と極小値をもつための条件から、$a$ のとりうる値の範囲をまず求める。この条件が軌跡の範囲（定義域）に直結する。次に、導関数 $f'(x) = 0$ の2解を $\alpha, \beta$ とおき、解と係数の関係を用いて中点 M の座標 $(p, q)$ を $a$ で表す。極値の $y$ 座標の計算には、3次式を2次式で割って次数を下げる工夫を用いると計算量を減らすことができる。最後に、$p$ と $a$ の関係式から媒介変数 $a$ を消去し、$p, q$ の関係式を導いたうえで $x, y$ の方程式に書き換える。

解法1

関数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3ax$ を微分すると

$$f'(x) = 3x^2 + 6ax + 3a$$

$f(x)$ が極大値と極小値をもつためには、2次方程式 $f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつ必要がある。すなわち、$x^2 + 2ax + a = 0$ の判別式を $D$ とすると

$$D/4 = a^2 - a > 0$$

$$a(a - 1) > 0$$

よって、$a$ の満たすべき条件は

$$a < 0, \quad 1 < a \quad \cdots \text{①}$$

である。

(1)

極大点 A、極小点 B の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ とすると、これらは方程式 $x^2 + 2ax + a = 0$ の2つの実数解である。解と係数の関係より

$$\alpha + \beta = -2a, \quad \alpha\beta = a$$

線分 AB の中点 M$(p, q)$ の $p$ 座標は

$$p = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$$

また、$q = \frac{f(\alpha) + f(\beta)}{2}$ である。ここで、$f(x)$ の次数を下げるために $x^2 + 2ax + a$ で割ると

$$f(x) = (x^2 + 2ax + a)(x + a) + 2a(1 - a)x - a^2$$

となる。$\alpha, \beta$ は $x^2 + 2ax + a = 0$ を満たすため

$$f(\alpha) = 2a(1 - a)\alpha - a^2$$

$$f(\beta) = 2a(1 - a)\beta - a^2$$

と表せる。したがって、$q$ は

$$\begin{aligned} q &= \frac{f(\alpha) + f(\beta)}{2} \\ &= \frac{2a(1 - a)(\alpha + \beta) - 2a^2}{2} \\ &= a(1 - a)(-2a) - a^2 \\ &= -2a^2 + 2a^3 - a^2 \\ &= 2a^3 - 3a^2 \end{aligned}$$

以上より、中点 M の座標は $p, q$ ともに $a$ で表される。

$$p = -a, \quad q = 2a^3 - 3a^2$$

(2)

(1) の結果より、$a = -p$ である。これを $q$ の式に代入して $a$ を消去する。

$$\begin{aligned} q &= 2(-p)^3 - 3(-p)^2 \\ &= -2p^3 - 3p^2 \end{aligned}$$

また、軌跡の存在範囲を考える。条件 ① の $a < 0, 1 < a$ に $a = -p$ を代入すると

$$-p < 0 \quad \text{または} \quad 1 < -p$$

$$p > 0 \quad \text{または} \quad p < -1$$

変数 $p, q$ を一般的な座標 $x, y$ に置き換えると、求める軌跡の方程式は

$$y = -2x^3 - 3x^2 \quad (x < -1, \quad x > 0)$$

次に、この軌跡のグラフをかくために $y = -2x^3 - 3x^2$ の増減を調べる。

$$y' = -6x^2 - 6x = -6x(x + 1)$$

$y' = 0$ となるのは $x = -1, 0$ のときであり、実数全体での増減表は次のようになる。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$
$y'$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$y$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$

求めるグラフは、この3次関数のグラフのうち $x < -1$ および $x > 0$ の範囲である。境界となる点は $x = -1$ のとき $y = -1$、$x = 0$ のとき $y = 0$ であるが、これらは範囲に含まれないため白丸などの除外点となる。いずれの範囲でもグラフは単調に減少する曲線となる。

解説

極値をもつための条件（判別式 $D>0$）を忘れずに立て、それを軌跡の定義域に反映させることが最も重要である。ここで条件を見落とすと、実数全体の実線グラフを描いてしまい失点につながる。また、中点の $y$ 座標を求める際、$f(\alpha) + f(\beta)$ にそのまま $\alpha, \beta$ を代入して3乗の和を計算しても解けるが、「$=0$ となる2次式で割って余りに代入する」という次数下げのテクニックを用いると、計算の負担とミスを大幅に減らすことができる。