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数学2 軌跡問題 6 解説

方針・初手

与えられた $x, y$ の媒介変数表示から、媒介変数 $t$ を消去して $x, y$ だけの関係式を導く。分母が共通して $1+t^2$ である式の形から、二乗の和を計算する方針や、三角関数を用いた置換が有効である。

解法1

与えられた式は以下の通りである。

$$x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \quad \cdots (1)$$

$$y = \frac{4t}{1+t^2} \quad \cdots (2)$$

(2) より $\frac{y}{2} = \frac{2t}{1+t^2}$ である。ここで、$x^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2$ を計算する。

$$\begin{aligned} x^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 &= \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 + \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2 \\ &= \frac{(1-t^2)^2 + 4t^2}{(1+t^2)^2} \\ &= \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2}{(1+t^2)^2} \\ &= \frac{1 + 2t^2 + t^4}{(1+t^2)^2} \\ &= \frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} \\ &= 1 \end{aligned}$$

したがって、以下の関係式が得られる。

$$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$$

また、$x$ の値の範囲について確認する。$t$ は実数であるから、$t^2 \geqq 0$ より $1+t^2 \geqq 1 > 0$ である。式(1)を変形すると以下のようになる。

$$x = \frac{2 - (1+t^2)}{1+t^2} = \frac{2}{1+t^2} - 1$$

$\frac{2}{1+t^2} > 0$ であるから、$x > -1$ を満たす。 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ において $x = -1$ のとき $y=0$ となるが、条件 $x > -1$ によりこの点 $(-1, 0)$ は除外される。これは問題文の但し書きと一致する。

よって、求める方程式は $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ である。

解法2

$t$ は実数であるから、$t = \tan \theta \quad \left(-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$ とおくことができる。これを $x, y$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} x &= \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta} \\ &= \frac{1-\tan^2 \theta}{\frac{1}{\cos^2 \theta}} \\ &= \cos^2 \theta (1-\tan^2 \theta) \\ &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ &= \cos 2\theta \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} y &= \frac{4\tan \theta}{1+\tan^2 \theta} \\ &= 4\tan \theta \cos^2 \theta \\ &= 4\sin \theta \cos \theta \\ &= 2\sin 2\theta \end{aligned}$$

これらより、$\cos 2\theta = x$、$\sin 2\theta = \frac{y}{2}$ となる。三角関数の相互関係 $\cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1$ に代入して、$t$ を消去する。

$$x^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 1$$

すなわち、

$$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$$

ここで、$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $-\pi < 2\theta < \pi$ であるから、$\cos 2\theta \neq -1$ となる。よって $x \neq -1$ であり、楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ 上の点 $(-1, 0)$ が除外されることが確認できる。

解説

有理関数で表されたパラメータ表示から、円や二次曲線の一部を導き出す典型問題である。解法1のように、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$、$Y = \frac{2t}{1+t^2}$ が $x^2 + Y^2 = 1$ を満たすことは、よく知られた恒等式であるため、直接二乗和を計算する方針が自然である。解法2のような $t = \tan \theta$ の置換も、積分計算などでよく用いられる定石であり、三角関数の倍角の公式（$\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$, $\sin 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1+\tan^2 \theta}$）の形そのものであることに気付けば見通しが良い。