数学2 軌跡 問題 9 解説

方針・初手

円の中心 $\text{P}$ が満たすべき条件を数式に翻訳する。

円が $2$ 点 $\text{A}, \text{B}$ を通ることから、中心 $\text{P}$ は線分 $\text{AB}$ の垂直二等分線上にある。この直線上にある点 $\text{P}$ を媒介変数を用いて表す。

さらに、円が直線 $y = \frac{1}{2}x$ と共有点をもつための条件は、「中心 $\text{P}$ と直線の距離 $d$」と「円の半径 $r$」の間に $d \le r$ が成り立つことである。これを解くことで $\text{P}$ の座標の範囲（軌跡）が求まり、同時に半径 $r$ の最小値も二次関数の最小値問題として帰着できる。

解法1

円が $2$ 点 $\text{A}(-1, 4), \text{B}(2, 5)$ を通るため、円の中心 $\text{P}$ は線分 $\text{AB}$ の垂直二等分線上にある。

線分 $\text{AB}$ の中点の座標は、

$$\left( \frac{-1+2}{2}, \frac{4+5}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{9}{2} \right)$$

である。

また、直線 $\text{AB}$ の傾きは、

$$\frac{5-4}{2-(-1)} = \frac{1}{3}$$

であるから、垂直二等分線の傾きは $-3$ となる。

したがって、垂直二等分線の方程式は、

$$y - \frac{9}{2} = -3 \left( x - \frac{1}{2} \right)$$

すなわち、

$$y = -3x + 6$$

となる。

中心 $\text{P}$ はこの直線上にあるため、$\text{P}$ の $x$ 座標を $t$ とおくと、$\text{P}$ の座標は $(t, -3t+6)$ と表せる。

このとき、円の半径を $r$ とすると、$r = \text{PA}$ であるから、

$$\begin{aligned} r^2 &= (t - (-1))^2 + (-3t + 6 - 4)^2 \\ &= (t + 1)^2 + (-3t + 2)^2 \\ &= (t^2 + 2t + 1) + (9t^2 - 12t + 4) \\ &= 10t^2 - 10t + 5 \end{aligned}$$

となる。

次に、この円が直線 $l: y = \frac{1}{2}x$、すなわち $x - 2y = 0$ と共有点をもつ条件を考える。

これは、中心 $\text{P}(t, -3t+6)$ と直線 $l$ の距離 $d$ が、円の半径 $r$ 以下となること（$d \le r$）と同値である。

点と直線の距離の公式より、

$$d = \frac{|t - 2(-3t + 6)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|7t - 12|}{\sqrt{5}}$$

$d \le r$ の両辺はともに正または $0$ であるから、$d^2 \le r^2$ としてよい。

$$\frac{(7t - 12)^2}{5} \le 10t^2 - 10t + 5$$

両辺に $5$ を掛けて展開すると、

$$49t^2 - 168t + 144 \le 50t^2 - 50t + 25$$

整理して、

$$t^2 + 118t - 119 \ge 0$$

これを因数分解すると、

$$(t - 1)(t + 119) \ge 0$$

したがって、$t$ の満たす範囲は、

$$t \le -119, \quad 1 \le t$$

(1)

中心 $\text{P}$ の軌跡は、直線 $y = -3x + 6$ のうち、$x$ 座標が上の不等式を満たす部分である。

よって、軌跡は 直線 $y = -3x + 6 \quad (x \le -119, \quad 1 \le x)$ となる。

(2)

円の半径 $r$ について、

$$r^2 = 10t^2 - 10t + 5 = 10 \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{5}{2}$$

と平方完成できる。

$r^2$ は $t$ の二次関数であり、そのグラフは軸が $t = \frac{1}{2}$ で下に凸の放物線である。

定義域 $t \le -119, \quad 1 \le t$ において、軸 $t = \frac{1}{2}$ に最も近いのは $t = 1$ のときである。

したがって、$r^2$ は $t = 1$ のとき最小となる。

このとき、最小値は、

$$r^2 = 10(1)^2 - 10(1) + 5 = 5$$

$r > 0$ であるから、$r = \sqrt{5}$ となる。

解説

「円が $2$ 点を通る」という条件から、円の中心が線分 $\text{AB}$ の垂直二等分線上にあることを導くのが第一歩である。ここで中心の座標を $1$ つの文字 $t$ で表すことで、条件を $t$ の不等式に帰着させることができる。

「円と直線が共有点をもつ」という条件は、代数的に円の方程式と直線の方程式を連立し、二次方程式の判別式 $D \ge 0$ としても処理できるが、図形的に「中心と直線の距離 $d$ が半径 $r$ 以下」と考える方が計算量が少なく済む。

最後は定義域の制限された二次関数の最大・最小問題となる。点と直線の距離から生じた不等式を正しく解き、定義域を求められていれば難なく解けるはずである。

答え

(1)

直線 $y = -3x + 6 \quad (x \le -119, \quad 1 \le x)$

(2)

$\sqrt{5}$