数学2 軌跡 問題 10 解説

方針・初手

点 $\text{Q}, \text{R}$ の座標を文字で置き、$\text{PQ} = \text{PR}$ の条件式を立てる。 そこから $\alpha+\beta$ と $\alpha^2+\beta^2$ の関係式を導き、重心 $\text{G}(X, Y)$ の関係式（軌跡の方程式）へと変換する。 最後に、$\triangle \text{PQR}$ が成立するための条件（$\text{Q} \neq \text{R}$ および3点が同一直線上にないこと）から、変数 $X$ のとりうる値の範囲を求める。

解法1

点 $\text{Q}, \text{R}$ は放物線 $y = x^2$ 上にあるから、$\text{Q}(\alpha, \alpha^2)$、$\text{R}(\beta, \beta^2)$ とおく。 $\triangle \text{PQR}$ が形成されるためには、$\alpha \neq \beta$ かつ3点 $\text{P}, \text{Q}, \text{R}$ が同一直線上にないことが必要である。

$\triangle \text{PQR}$ は $\text{QR}$ を底辺とする二等辺三角形であるから、$\text{PQ} = \text{PR}$、すなわち $\text{PQ}^2 = \text{PR}^2$ が成り立つ。

$$\left(\alpha - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\alpha^2 - \frac{1}{4}\right)^2 = \left(\beta - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\beta^2 - \frac{1}{4}\right)^2$$

式を展開して整理すると、

$$(\alpha^2 - \beta^2) - (\alpha - \beta) + (\alpha^4 - \beta^4) - \frac{1}{2}(\alpha^2 - \beta^2) = 0$$

$$(\alpha - \beta)(\alpha + \beta - 1) + (\alpha^2 - \beta^2)(\alpha^2 + \beta^2) - \frac{1}{2}(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) = 0$$

$\alpha \neq \beta$ より $\alpha - \beta \neq 0$ であるから、両辺を $\alpha - \beta$ で割って整理する。

$$(\alpha + \beta) - 1 + (\alpha + \beta)(\alpha^2 + \beta^2) - \frac{1}{2}(\alpha + \beta) = 0$$

$$(\alpha + \beta)(\alpha^2 + \beta^2) + \frac{1}{2}(\alpha + \beta) - 1 = 0 \cdots \text{①}$$

重心 $\text{G}(X, Y)$ の座標は、

$$X = \frac{\frac{1}{2} + \alpha + \beta}{3}$$

$$Y = \frac{\frac{1}{4} + \alpha^2 + \beta^2}{3}$$

これより、基本対称式を $X, Y$ で表す。

$$\alpha + \beta = 3X - \frac{1}{2} \cdots \text{②}$$

$$\alpha^2 + \beta^2 = 3Y - \frac{1}{4} \cdots \text{③}$$

②と③を①に代入する。

$$\left(3X - \frac{1}{2}\right)\left(3Y - \frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2}\left(3X - \frac{1}{2}\right) - 1 = 0$$

$$\left(3X - \frac{1}{2}\right)\left(3Y + \frac{1}{4}\right) = 1$$

$3X - \frac{1}{2} = 0$ とすると $0 = 1$ となり矛盾するため、$3X - \frac{1}{2} \neq 0$ である。両辺を $3X - \frac{1}{2}$ で割る。

$$3Y + \frac{1}{4} = \frac{1}{3X - \frac{1}{2}}$$

$$3Y = \frac{2}{6X - 1} - \frac{1}{4}$$

$$Y = \frac{2}{3(6X - 1)} - \frac{1}{12} = \frac{2}{18X - 3} - \frac{1}{12}$$

次に、$X$ のとりうる値の範囲（$\triangle \text{PQR}$ が成立する条件）を求める。 $\alpha, \beta$ は異なる実数であるから、$(\alpha - \beta)^2 > 0$ を満たす必要がある。

$$(\alpha - \beta)^2 = 2(\alpha^2 + \beta^2) - (\alpha + \beta)^2 > 0$$

②、③を代入して、

$$2\left(3Y - \frac{1}{4}\right) - \left(3X - \frac{1}{2}\right)^2 > 0$$

ここで、①に②、③を代入した関係式 $\left(3X - \frac{1}{2}\right)\left(3Y - \frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2}\left(3X - \frac{1}{2}\right) - 1 = 0$ より、

$$3Y - \frac{1}{4} = \frac{1}{3X - \frac{1}{2}} - \frac{1}{2}$$

であるから、これを不等式に代入する。

$$2\left(\frac{1}{3X - \frac{1}{2}} - \frac{1}{2}\right) - \left(3X - \frac{1}{2}\right)^2 > 0$$

計算を簡明にするため、$u = 3X - \frac{1}{2}$ とおく。

$$\frac{2}{u} - 1 - u^2 > 0$$

$$\frac{-u^3 - u + 2}{u} > 0$$

$$\frac{-(u - 1)(u^2 + u + 2)}{u} > 0$$

すべての実数 $u$ において $u^2 + u + 2 = \left(u + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4} > 0$ であるから、不等式の符号に影響するのは残りの部分である。

$$\frac{u - 1}{u} < 0$$

これを解いて、

$$0 < u < 1$$

$u = 3X - \frac{1}{2}$ を戻して $X$ の範囲を求める。

$$0 < 3X - \frac{1}{2} < 1$$

$$\frac{1}{6} < X < \frac{1}{2}$$

このとき $u \neq 1$ である。もし $u = 1$ の場合、$\text{P}$ が線分 $\text{QR}$ の中点となり3点が同一直線上に並んでしまうが、この範囲に $u=1$ は含まれないため、三角形の成立条件を過不足なく満たしている。

以上より、求める軌跡の方程式と範囲が得られた。

解説

放物線上の2点と定点が二等辺三角形をなすという幾何的条件を、代数的な関係式に翻訳する軌跡問題である。 二等辺三角形の条件 $\text{PQ} = \text{PR}$ から基本対称式 $\alpha+\beta, \alpha^2+\beta^2$ の関係式を作り、重心の座標から求まる式と結びつける処理が最大のポイントである。 また、図形的な成立条件として「異なる2点であること（実数条件 $(\alpha-\beta)^2>0$）」と「同一直線上にないこと」の確認を怠ってはならない。本解のように実数条件の不等式を解く過程で、同一直線上の除外点も含めて適切に範囲が求まる。

答え

曲線 $y = \frac{2}{18x - 3} - \frac{1}{12} \quad \left(\frac{1}{6} < x < \frac{1}{2}\right)$