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数学2 軌跡問題 12 解説

方針・初手

放物線と直線の交点の $x$ 座標は、2つの式から $y$ を消去した2次方程式の実数解である。これらが異なる2点で交わるための条件から $k$ の範囲を求める。交点 $\text{P}, \text{Q}$ の $x$ 座標の大小関係は $k$ の値によって変わるため、(2) では場合分けが必要となる。得られた $\text{R}$ の座標からパラメータ $k$ を消去し、(3) で軌跡の方程式を求めて図形の特徴を明らかにする。

解法1

(1) 放物線 $y = (x - 1)^2$ と直線 $y = kx + 1$ の交点の $x$ 座標は、次の方程式の解である。

$$(x - 1)^2 = kx + 1$$

展開して整理すると、

$$x^2 - 2x + 1 = kx + 1$$

$$x^2 - (k + 2)x = 0$$

$$x \{ x - (k + 2) \} = 0$$

これより、$x = 0, k + 2$ である。放物線と直線が異なる2点で交わるための条件は、この2次方程式が異なる2つの実数解をもつことである。したがって、$k + 2 \neq 0$ となり、求める $k$ の範囲は

$$k \neq -2$$

(2) $\text{P}, \text{Q}$ の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ とすると、条件より $\alpha < \beta$ である。方程式の解が $x = 0, k + 2$ であるため、大小関係により以下のように場合分けを行う。

(i) $k > -2$ のとき $0 < k + 2$ であるから、$\alpha = 0, \beta = k + 2$ となる。したがって、$\text{P}, \text{Q}$ の $x$ 座標はそれぞれ $0, k + 2$ である。点 $\text{R}$ は線分 $\text{PQ}$ を $1:2$ に内分するので、$\text{R}$ の $x$ 座標 $s$ は、

$$s = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot (k + 2)}{1 + 2} = \frac{k + 2}{3}$$

点 $\text{R}$ は直線 $y = kx + 1$ 上にあるから、$\text{R}$ の $y$ 座標 $t$ は、

$$t = k \cdot \frac{k + 2}{3} + 1 = \frac{k^2 + 2k + 3}{3}$$

(ii) $k < -2$ のとき $k + 2 < 0$ であるから、$\alpha = k + 2, \beta = 0$ となる。したがって、$\text{P}, \text{Q}$ の $x$ 座標はそれぞれ $k + 2, 0$ である。点 $\text{R}$ は線分 $\text{PQ}$ を $1:2$ に内分するので、$\text{R}$ の $x$ 座標 $s$ は、

$$s = \frac{2 \cdot (k + 2) + 1 \cdot 0}{1 + 2} = \frac{2(k + 2)}{3}$$

点 $\text{R}$ は直線 $y = kx + 1$ 上にあるから、$\text{R}$ の $y$ 座標 $t$ は、

$$t = k \cdot \frac{2(k + 2)}{3} + 1 = \frac{2k^2 + 4k + 3}{3}$$

(3) 点 $\text{R}$ が描く図形の方程式を求めるために、(2) の結果から $k$ を消去する。 $s, t$ をそれぞれ $x, y$ とおき直して軌跡の方程式を求める。

(i) $k > -2$ のとき $x = \frac{k + 2}{3}$ より、$k = 3x - 2$ である。 $k > -2$ であるから、$3x - 2 > -2$ より $x > 0$ である。 $k = 3x - 2$ を $y = \frac{k^2 + 2k + 3}{3}$ に代入すると、

$$y = \frac{(3x - 2)^2 + 2(3x - 2) + 3}{3} = \frac{9x^2 - 12x + 4 + 6x - 4 + 3}{3} = 3x^2 - 2x + 1$$

平方完成すると、

$$y = 3 \left( x - \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{2}{3}$$

(ii) $k < -2$ のとき $x = \frac{2(k + 2)}{3}$ より、$k = \frac{3}{2}x - 2$ である。 $k < -2$ であるから、$\frac{3}{2}x - 2 < -2$ より $x < 0$ である。 $k = \frac{3}{2}x - 2$ を $y = \frac{2k^2 + 4k + 3}{3}$ に代入すると、

$$y = \frac{2 \left( \frac{3}{2}x - 2 \right)^2 + 4 \left( \frac{3}{2}x - 2 \right) + 3}{3}$$

$$y = \frac{2 \left( \frac{9}{4}x^2 - 6x + 4 \right) + 6x - 8 + 3}{3} = \frac{\frac{9}{2}x^2 - 12x + 8 + 6x - 5}{3} = \frac{\frac{9}{2}x^2 - 6x + 3}{3} = \frac{3}{2}x^2 - 2x + 1$$

平方完成すると、

$$y = \frac{3}{2} \left( x - \frac{2}{3} \right)^2 + \frac{1}{3}$$

よって、求める図形は以下の2つの放物線をつなぎ合わせたものから、点 $(0, 1)$ を除いた部分となる。 $x > 0$ においては放物線 $y = 3x^2 - 2x + 1$ （頂点 $\left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)$ ） $x < 0$ においては放物線 $y = \frac{3}{2}x^2 - 2x + 1$ （軸は $x = \frac{2}{3}$ であり、単調減少する区間）

$x \to 0$ のとき、どちらの式においても $y \to 1$ となるため、点 $(0, 1)$ を除いてなめらかにつながる曲線を描く。

解説

交点の $x$ 座標が定数を含まない $0$ と、パラメータ $k$ を含む $k + 2$ の2つになることが最大のポイントである。(2)で $\text{P}, \text{Q}$ の大小関係が指定されているため、$k + 2$ と $0$ の大小関係、すなわち $k > -2$ か $k < -2$ かでの場合分けが必須となる。これを見落とすと、軌跡が不完全なものになってしまう。(3)の図示にあたっては、$s$ の変域を $k$ の条件から正しく導出することが求められる。境界点である $(0, 1)$ が含まれないこと（白丸になること）を明確にする必要がある。