数学2 軌跡 問題 14 解説

方針・初手

2つの曲線が接するという条件は、ある共有点において $y$ 座標と微分係数（接線の傾き）が等しいことと同値である。接点の $x$ 座標を文字でおき、問題文の条件を立式して $a, b, c$ の関係式を導く。その後、求めた接点の座標を $(x, y)$ とおき、$a, c$ を $x, y$ で表して条件式に代入する逆像法を用いて軌跡を求める。

解法1

(1)

$C_1 : y = ax^2$ より $y' = 2ax$ $C_2 : y = b(x-1)^2 + c$ より $y' = 2b(x-1)$ $C_1$ と $C_2$ が $x=t$ において接するとすると、その点での $y$ 座標と微分係数が等しいので、次の2式が成り立つ。

$$\begin{cases} at^2 = b(t-1)^2 + c & \cdots \text{①} \\ 2at = 2b(t-1) & \cdots \text{②} \end{cases}$$

②より $b(t-1) = at$ である。 ここで $t=1$ とすると $a = 0$ となるが、問題の条件「$0$ でない実数 $a$」に矛盾する。 よって $t \neq 1$ であり、

$$b = \frac{at}{t-1} \cdots \text{③}$$

となる。これを①に代入して $b$ を消去する。

$$\begin{aligned} at^2 &= \frac{at}{t-1}(t-1)^2 + c \\ at^2 &= at(t-1) + c \\ at^2 &= at^2 - at + c \\ at &= c \end{aligned}$$

$a \neq 0$ より、$t = \frac{c}{a}$ となる。 このとき、接点の $y$ 座標は $C_1$ の方程式に代入して、

$$y = a \left( \frac{c}{a} \right)^2 = \frac{c^2}{a}$$

である。なお、問題の条件から $c \neq 0$ であるため $t \neq 0$ となり、③より $b \neq 0$ も満たされる。 以上より、接点の座標は $\left( \frac{c}{a}, \frac{c^2}{a} \right)$ である。

(2)

(1) で求めた接点の座標を $(x, y)$ とおく。

$$x = \frac{c}{a}, \quad y = \frac{c^2}{a}$$

$a, c$ は $0$ でない実数であるから、$x \neq 0$ である。 $c = ax$ を $y = \frac{c^2}{a}$ に代入すると、

$$y = \frac{(ax)^2}{a} = ax^2$$

となる。$x \neq 0$ より $a = \frac{y}{x^2}$ となり、これを $c = ax$ に代入して $c = \frac{y}{x}$ となる。 これらを条件 (i) の $1 + c^2 \leqq 2a$ に代入する。

$$1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 \leqq 2 \left( \frac{y}{x^2} \right)$$

$x \neq 0$ より $x^2 > 0$ であるから、両辺に $x^2$ を掛けて整理する。

$$\begin{aligned} x^2 + y^2 &\leqq 2y \\ x^2 + y^2 - 2y &\leqq 0 \\ x^2 + (y-1)^2 &\leqq 1 \end{aligned}$$

また、(1) より実数 $b$ が存在するための条件は $t \neq 1$、すなわち $x \neq 1$ である。 さらに、$a, c$ が $0$ でない実数となるためには $y \neq 0$ も必要であるが、$x \neq 0$ かつ $x^2 + (y-1)^2 \leqq 1$ であれば自動的に $0 < y < 2$ となり、$y \neq 0$ は満たされる。またこのとき、(1) の③より $b = \frac{y}{x(x-1)}$ となり、$b \neq 0$ も満たされる。 以上より、点 $(x, y)$ の満たすべき条件は次のようになる。

$$\begin{cases} x^2 + (y-1)^2 \leqq 1 \\ x \neq 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$$

直線 $x=1$ と円 $x^2 + (y-1)^2 = 1$ の共有点は、点 $(1, 1)$ のみである。 したがって、求める領域は、中心 $(0, 1)$、半径 $1$ の円の内部および周上から、$y$ 軸上の部分と点 $(1, 1)$ を除いたものになる。

解説

2つの放物線が接するという条件から接点の座標を求め、それを媒介変数表示された軌跡の問題として捉え直す問題である。(2) は、接点 $(x, y)$ を固定したときに、題意を満たす実数 $a, b, c$ が存在するかどうかを考える「逆像法」を用いている。文字が $0$ でないという制約や、$b$ が存在するための分母が $0$ にならない条件から、図形の一部が除外されることに注意深く議論を展開する必要がある。

答え

(1)

$\left( \frac{c}{a}, \frac{c^2}{a} \right)$

(2)

求める範囲は、不等式 $x^2 + (y-1)^2 \leqq 1$ が表す領域から、直線 $x=0$（$y$ 軸）上のすべての点と、点 $(1, 1)$ を除いた部分である。図示すると、中心 $(0, 1)$、半径 $1$ の円の内部および周上となる（ただし、$y$ 軸上の線分および点 $(1, 1)$ は境界を含まない）。