数学2 軌跡 問題 16 解説

方針・初手

2つの放物線が同一の点で同一の直線に接するという条件を、数式に翻訳することが初手となる。2曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が $x=p$ で共通の接線を持つ条件は、「共有点を持つこと（$f(p)=g(p)$）」および「その点での接線の傾きが等しいこと（$f'(p)=g'(p)$）」である。 この条件から $b, c$ を $a, p$ で表し、その後は二次関数の頂点の計算、ベクトルの実数倍（または座標の比）、パラメータの消去による軌跡の計算といった標準的な処理を順に進めていく。

解法1

(1)

$f(x) = x^2$、$g(x) = ax^2 + bx + c$ とおく。 2つの放物線 $C_1, C_2$ が点 $\mathrm{P}(p, p^2)$ で同一の直線に接するための条件は、点 $\mathrm{P}$ が $C_2$ 上にあり、かつ $x=p$ における $C_1$ と $C_2$ の微分係数が等しいことである。

$$g(p) = p^2 \iff ap^2 + bp + c = p^2 \quad \cdots \text{①}$$

$$f'(p) = g'(p) \iff 2p = 2ap + b \quad \cdots \text{②}$$

②より、

$$b = 2(1-a)p$$

これを①に代入して、

$$ap^2 + 2(1-a)p^2 + c = p^2$$

$$c = p^2 - ap^2 - 2(1-a)p^2 = (a-1)p^2$$

以上より、

$$b = 2(1-a)p, \quad c = (a-1)p^2$$

(2)

(1) の結果より、放物線 $C_2$ の方程式は以下のようになる。

$$y = ax^2 + 2(1-a)px + (a-1)p^2$$

平方完成を行って頂点の座標を求める。

$$y = a \left\{ x^2 + \frac{2(1-a)p}{a} x \right\} + (a-1)p^2$$

$$y = a \left\{ x + \frac{(1-a)p}{a} \right\}^2 - a \left\{ \frac{(1-a)p}{a} \right\}^2 + (a-1)p^2$$

$$y = a \left( x - \frac{a-1}{a}p \right)^2 - \frac{(a-1)^2}{a}p^2 + (a-1)p^2$$

$$y = a \left( x - \frac{a-1}{a}p \right)^2 + \frac{-(a-1)^2 + a(a-1)}{a}p^2$$

$$y = a \left( x - \frac{a-1}{a}p \right)^2 + \frac{a-1}{a}p^2$$

したがって、放物線 $C_2$ の頂点 $\mathrm{Q}$ の座標は、

$$\left( \frac{a-1}{a}p, \frac{a-1}{a}p^2 \right)$$

(3)

$p \neq 0$ のとき、点 $\mathrm{O, P, Q}$ の座標からベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ を考える。

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = (p, p^2)$$

$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \left( \frac{a-1}{a}p, \frac{a-1}{a}p^2 \right)$$

よって、

$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{a-1}{a} \overrightarrow{\mathrm{OP}}$$

が成り立つ。ここで、$0 < a < 1$ より $\frac{1}{a} > 1$ であるから、

$$\frac{a-1}{a} = 1 - \frac{1}{a} < 0$$

である。 $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ が $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ の負の実数倍で表されるため、ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ は互いに逆向きで平行である。 ゆえに、3点 $\mathrm{Q, O, P}$ はこの順で一直線上にある。

また、線分の長さの比はベクトルの大きさの比に等しいので、

$$\frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}} = \frac{| \overrightarrow{\mathrm{OQ}} |}{| \overrightarrow{\mathrm{OP}} |} = \left| \frac{a-1}{a} \right| = \frac{1-a}{a}$$

(4)

点 $\mathrm{Q}$ の座標を $(X, Y)$ とおく。

$$X = \frac{a-1}{a}p \quad \cdots \text{③}$$

$$Y = \frac{a-1}{a}p^2 \quad \cdots \text{④}$$

$0 < a < 1$ より $a-1 \neq 0$ であるため、③より

$$p = \frac{a}{a-1}X$$

これを④に代入して $p$ を消去する。

$$Y = \frac{a-1}{a} \left( \frac{a}{a-1}X \right)^2$$

$$Y = \frac{a-1}{a} \cdot \frac{a^2}{(a-1)^2} X^2$$

$$Y = \frac{a}{a-1} X^2$$

$p$ がすべての実数値をとって動くとき、$X = \frac{a-1}{a}p$ において係数 $\frac{a-1}{a} \neq 0$ であるから、$X$ もすべての実数値をとりうる。 したがって、点 $\mathrm{Q}$ の軌跡の方程式は、

$$y = \frac{a}{a-1}x^2$$

解説

2曲線の共通接線の問題から始まり、座標計算、ベクトルを用いた位置関係の証明、パラメータ消去による軌跡の導出という、数学II・Bの重要テーマがバランスよく盛り込まれた総合問題である。

(1) では「同一の点で同一の直線に接する」という条件を正しく立式できるかが問われている。 (3) における「3点がこの順で一直線上にある」ことの証明では、単に実数倍であるだけでなく、その係数が負であることを示す必要がある点に注意したい。 (4) の軌跡を求める際は、パラメータ $p$ を消去して $X, Y$ の関係式を導いたあと、定義域（$X$ のとりうる範囲）の確認を忘れないようにすることが重要である。本問では実数全体となるが、記述試験においては論理の飛躍を防ぐために一言添えるべきである。

答え

(1)

$b = 2(1-a)p, \quad c = (a-1)p^2$

(2)

$\mathrm{Q} \left( \frac{a-1}{a}p, \frac{a-1}{a}p^2 \right)$

(3)

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{a-1}{a} \overrightarrow{\mathrm{OP}}$ であり、$0 < a < 1$ より $\frac{a-1}{a} < 0$ であるから、$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ は逆向きに平行である。ゆえに、3点 $\mathrm{Q, O, P}$ はこの順で一直線上にある。（証明終）

$\frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}} = \frac{1-a}{a}$

(4)

$y = \frac{a}{a-1}x^2$