トップ› 基礎問題› 数学2› 図形と式› 軌跡› 問題 18

数学2 軌跡問題 18 解説

方針・初手

点 $\text{P}$ は放物線 $C$ 上の点であるから、その座標を媒介変数 $t$ を用いて $\text{P}(t, t^2 - 2t + 3)$ とおく。与えられた条件から、$\triangle\text{OAP}$ の重心 $\text{G}$ の座標、さらに線分 $\text{GP}$ の中点 $\text{M}$ の座標を $t$ を用いて表す。点 $\text{M}$ の座標を $(x, y)$ とおき、$x, y$ の関係式から $t$ を消去することで軌跡の方程式を求める。また、$\triangle\text{OAP}$ が常に存在するかどうか（3点 $\text{O}, \text{A}, \text{P}$ が同一直線上にないか）を解答の中で確認しておく。

解法1

点 $\text{P}$ は放物線 $C: y = x^2 - 2x + 3$ 上を動くので、媒介変数 $t$ を用いて $\text{P}(t, t^2 - 2t + 3)$ とおく。

ここで、$y = x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2$ であるから、すべての実数 $t$ において点 $\text{P}$ の $y$ 座標は $2$ 以上である。一方、点 $\text{O}(0, 0)$，点 $\text{A}(2, 0)$ を通る直線 $\text{OA}$ は $x$ 軸（$y=0$）であるため、点 $\text{P}$ は直線 $\text{OA}$ 上には存在しない。したがって、任意の実数 $t$ において $\triangle\text{OAP}$ は存在する。

$\triangle\text{OAP}$ の重心を $\text{G}$ とすると、その座標は、

$$\left( \frac{0 + 2 + t}{3}, \frac{0 + 0 + t^2 - 2t + 3}{3} \right) = \left( \frac{t+2}{3}, \frac{t^2 - 2t + 3}{3} \right)$$

である。

次に、線分 $\text{GP}$ の中点を $\text{M}(x, y)$ とする。点 $\text{M}$ の座標は、

$$x = \frac{1}{2} \left( \frac{t+2}{3} + t \right) = \frac{2t+1}{3}$$

$$y = \frac{1}{2} \left( \frac{t^2 - 2t + 3}{3} + (t^2 - 2t + 3) \right) = \frac{2(t^2 - 2t + 3)}{3}$$

と表される。

$x$ の式から $t$ を求めると、

$$3x = 2t + 1$$

$$t = \frac{3x - 1}{2}$$

となる。これを $y$ の式に代入して $t$ を消去する。

$$y = \frac{2}{3} \left\{ \left( \frac{3x - 1}{2} \right)^2 - 2 \left( \frac{3x - 1}{2} \right) + 3 \right\}$$

$$y = \frac{2}{3} \left( \frac{9x^2 - 6x + 1}{4} - 3x + 1 + 3 \right)$$

$$y = \frac{2}{3} \left( \frac{9x^2 - 6x + 1 - 12x + 16}{4} \right)$$

$$y = \frac{2}{3} \cdot \frac{9x^2 - 18x + 17}{4}$$

$$y = \frac{3}{2}x^2 - 3x + \frac{17}{6}$$

$t$ はすべての実数値をとるため、$x$ もすべての実数値をとる。したがって、求める軌跡の方程式は $y = \frac{3}{2}x^2 - 3x + \frac{17}{6}$ である。

解法2

位置ベクトルを用いた解法を示す。原点を $\text{O}$ とし、各点の位置ベクトルを $\vec{a} = \vec{\text{OA}}$, $\vec{p} = \vec{\text{OP}}$, $\vec{g} = \vec{\text{OG}}$, $\vec{m} = \vec{\text{OM}}$ とする。

点 $\text{G}$ は $\triangle\text{OAP}$ の重心であるから、

$$\vec{g} = \frac{\vec{0} + \vec{a} + \vec{p}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{p}}{3}$$

点 $\text{M}$ は線分 $\text{GP}$ の中点であるから、

$$\vec{m} = \frac{\vec{g} + \vec{p}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{a} + \vec{p}}{3} + \vec{p} \right) = \frac{\vec{a} + 4\vec{p}}{6} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{p}$$

ここで、点 $\text{M}$ の座標を $(x, y)$，点 $\text{P}$ の座標を $(X, Y)$ とすると、$\text{A}(2, 0)$ より $\vec{a} = (2, 0)$ であるため、成分を比較して、

$$(x, y) = \frac{1}{6}(2, 0) + \frac{2}{3}(X, Y) = \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{3}X, \frac{2}{3}Y \right)$$

よって、

$$x = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}X$$

$$y = \frac{2}{3}Y$$

これを $X, Y$ について解くと、

$$X = \frac{3x - 1}{2}$$

$$Y = \frac{3}{2}y$$

点 $\text{P}(X, Y)$ は放物線 $C: y = x^2 - 2x + 3$ 上の点であるから、

$$Y = X^2 - 2X + 3$$

が成り立つ。ここに先ほどの式を代入する。

$$\frac{3}{2}y = \left( \frac{3x - 1}{2} \right)^2 - 2 \left( \frac{3x - 1}{2} \right) + 3$$

両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けて整理する。

$$y = \frac{2}{3} \left( \frac{9x^2 - 6x + 1}{4} - 3x + 4 \right)$$

$$y = \frac{2}{3} \cdot \frac{9x^2 - 6x + 1 - 12x + 16}{4}$$

$$y = \frac{3}{2}x^2 - 3x + \frac{17}{6}$$

（$\triangle\text{OAP}$ が存在することの確認は解法1と同様であるため省略する。）

解説

軌跡を求める基本的な問題である。動点 $\text{P}$ の座標を文字でおき、条件に従って目的の点 $\text{M}$ の座標を表現し、媒介変数を消去するという定石通りの手順で解くことができる。

ベクトルを用いて点 $\text{M}$ と点 $\text{P}$ の関係式を先に導出する解法2のアプローチは、計算の見通しが良くなるため、特に図形的な変換が絡む問題で有効である。

なお、問題文に「$\triangle\text{OAP}$」とあるため、3点 $\text{O}, \text{A}, \text{P}$ が三角形をなす条件（一直線上にない条件）を満たしているかの確認は記述しておくのが望ましい。本問では、放物線 $C$ の頂点の $y$ 座標が正であり、$x$ 軸上にある線分 $\text{OA}$ と決して交わらないことから、常に条件を満たすことが容易に確認できる。