数学2 軌跡 問題 23 解説

方針・初手

(1) は三角形の重心の座標を求める公式に、与えられた3点の座標を代入するのみである。 (2) は軌跡の問題である。まず、条件 $s - t = \frac{\pi}{2}$ を用いて $s$ を消去し、重心 G の座標 $(x, y)$ を $t$ のみの媒介変数表示で表す。次に、式を変形して $t$ を消去し、$x$ と $y$ の関係式（軌跡を含む図形の方程式）を導く。さらに、$t$ の変域 $0 < t < \frac{3}{2}\pi$ から、軌跡が図形上のどの範囲になるかを調べる。その際、三角関数の合成を用いると範囲の特定が容易になる。最後に、「3点が三角形をなす」という条件が軌跡から除外すべき点を作らないか確認する。

解法1

(1) 3点 $\text{A}(1, 0)$、$\text{P}(\cos s, \sin s)$、$\text{Q}(\cos t, \sin t)$ を頂点とする $\triangle\text{APQ}$ の重心 G の座標は、

$$\left( \frac{1 + \cos s + \cos t}{3}, \frac{0 + \sin s + \sin t}{3} \right)$$

整理して、

$$\left( \frac{1 + \cos s + \cos t}{3}, \frac{\sin s + \sin t}{3} \right)$$

(2) 重心 G の座標を $(x, y)$ とおく。(1) の結果より、

$$x = \frac{1 + \cos s + \cos t}{3}$$

$$y = \frac{\sin s + \sin t}{3}$$

条件 $s - t = \frac{\pi}{2}$ より、$s = t + \frac{\pi}{2}$ である。これを用いて $\cos s, \sin s$ を変形すると、

$$\cos s = \cos\left(t + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin t$$

$$\sin s = \sin\left(t + \frac{\pi}{2}\right) = \cos t$$

これらを $x, y$ の式に代入する。

$$3x = 1 - \sin t + \cos t$$

$$3y = \cos t + \sin t$$

変形して、

$$3x - 1 = \cos t - \sin t$$

$$3y = \cos t + \sin t$$

各辺を2乗して足し合わせることで、$t$ を消去する。

$$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (\cos t - \sin t)^2 + (\cos t + \sin t)^2$$

$$(3x - 1)^2 + 9y^2 = (\cos^2 t - 2\sin t \cos t + \sin^2 t) + (\cos^2 t + 2\sin t \cos t + \sin^2 t)$$

$$(3x - 1)^2 + 9y^2 = 2(\cos^2 t + \sin^2 t)$$

$$(3x - 1)^2 + 9y^2 = 2$$

両辺を $9$ で割ると、

$$\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{2}{9}$$

したがって、点 G は中心 $\left(\frac{1}{3}, 0\right)$、半径 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ の円周上にあることがわかる。

次に、$t$ の変域 $0 < t < \frac{3}{2}\pi$ による点 G の動く範囲を調べる。 先ほどの $x, y$ の式を、三角関数の合成を用いて変形する。

$$x - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}(\cos t - \sin t) = \frac{\sqrt{2}}{3}\cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right)$$

$$y = \frac{1}{3}(\sin t + \cos t) = \frac{\sqrt{2}}{3}\sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right)$$

ここで、$0 < t < \frac{3}{2}\pi$ より、偏角 $t + \frac{\pi}{4}$ のとりうる値の範囲は、

$$\frac{\pi}{4} < t + \frac{\pi}{4} < \frac{7}{4}\pi$$

である。 この範囲において、点 $\left( x - \frac{1}{3}, y \right)$ は原点を中心とする半径 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ の円周上を、偏角 $\frac{\pi}{4}$ から $\frac{7}{4}\pi$ まで動く。

両端の点に対応する $(x, y)$ の値を求める。 $t \to +0$ すなわち $t + \frac{\pi}{4} \to \frac{\pi}{4} + 0$ のとき、

$$x \to \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3}\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{3}$$

$$y \to \frac{\sqrt{2}}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3}$$

$t \to \frac{3}{2}\pi - 0$ すなわち $t + \frac{\pi}{4} \to \frac{7}{4}\pi - 0$ のとき、

$$x \to \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3}\cos\frac{7}{4}\pi = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{3}$$

$$y \to \frac{\sqrt{2}}{3}\sin\frac{7}{4}\pi = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{3}$$

よって、軌跡は円 $\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{2}{9}$ のうち、$x < \frac{2}{3}$ の部分（左側の円弧）となる。

最後に、3点 A, P, Q が同一直線上に並ばない（三角形をなす）ことを確認する。 P, Q は原点を中心とする単位円上の点であり、$\angle\text{POQ} = \frac{\pi}{2}$ である。直線 PQ と原点との距離は $\frac{1}{\sqrt{2}}$ であるため、直線 PQ の方程式は

$$x \cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right) + y \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

と表される。これが点 $\text{A}(1, 0)$ を通ると仮定すると、

$$\cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

これを満たす偏角は $\frac{\pi}{4} + 2n\pi, \frac{7}{4}\pi + 2n\pi$（$n$ は整数）であるが、これは先ほど求めた範囲 $\frac{\pi}{4} < t + \frac{\pi}{4} < \frac{7}{4}\pi$ には含まれない。 したがって、与えられた $t$ の範囲では常に3点 A, P, Q は三角形をなす。

以上より、求める軌跡は円 $\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{2}{9}$ の $x < \frac{2}{3}$ の部分である。

解説

媒介変数で表された点 $(x, y)$ の軌跡を求める典型的な問題である。(2) では、$\cos s, \sin s$ を $\cos t, \sin t$ に変換して $x, y$ の式を $t$ のみで表し、$x$ と $y$ の関係式から $t$ を消去して軌跡を含む図形の方程式を導く。その後、$t$ の変域から軌跡の範囲を絞り込む際、三角関数の合成を用いると中心角の変域が明確になり、視覚的にも捉えやすくなる。また、「三角形をなすとき」という前提条件が軌跡の存在範囲に制限を加えないかの確認を怠らないようにしたい。

答え

(1)

$\left( \frac{1 + \cos s + \cos t}{3}, \frac{\sin s + \sin t}{3} \right)$

(2)

軌跡: 円 $\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{2}{9}$ の $x < \frac{2}{3}$ の部分。

図示: 中心 $\left(\frac{1}{3}, 0\right)$、半径 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ の円のうち、直線 $x = \frac{2}{3}$ より左側の実線部分となる。（端点である $\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right), \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)$ は白丸で示し、含まれない）