数学2 軌跡 問題 24 解説

方針・初手

与えられた条件式 $\overrightarrow{\text{OQ}} = k\overrightarrow{\text{OP}} \ (k > 0)$ と $\text{OP} \cdot \text{OQ} = 4$ を用いて、点 $\text{P}$ と点 $\text{Q}$ の関係を数式に落とし込む。いわゆる「反転」と呼ばれる図形変換を背景とする問題である。

(1) は条件式から長さに関する等式を導き、$k$ を $\text{Q}$ の座標だけで表す。 (2) は $\text{P}$ が満たす直線の方程式に、$\text{Q}$ の座標で表された $\text{P}$ の座標を代入して整理し、$\text{Q}$ の軌跡を求める。 (3) は点 $\text{P}$ の動きに伴う半直線 $\text{OP}$ の偏角の変化を捉え、点 $\text{Q}$ が (2) で求めた円のどの部分を動くかを特定する。

解法1

(1)

$\overrightarrow{\text{OQ}} = k\overrightarrow{\text{OP}}$ であり、$k > 0$ であるから、両辺の大きさをとると

$$|\overrightarrow{\text{OQ}}| = k|\overrightarrow{\text{OP}}|$$

すなわち、$\text{OQ} = k\text{OP}$ となる。 これと与えられた条件 $\text{OP} \cdot \text{OQ} = 4$ より、$\text{OP} = \frac{4}{\text{OQ}}$ であるから、

$$\text{OQ} = k \cdot \frac{4}{\text{OQ}}$$

$$\text{OQ}^2 = 4k$$

$$k = \frac{\text{OQ}^2}{4}$$

点 $\text{Q}$ の座標は $(c, d)$ であるから、$\text{OQ}^2 = c^2 + d^2$ となる。 これを代入して、

$$k = \frac{c^2 + d^2}{4}$$

(2)

点 $\text{P}(a, b)$ は直線 $2x + y - 6 = 0$ 上を動くので、

$$2a + b - 6 = 0$$

が成り立つ。 一方、$\overrightarrow{\text{OQ}} = k\overrightarrow{\text{OP}}$ より $\overrightarrow{\text{OP}} = \frac{1}{k}\overrightarrow{\text{OQ}}$ であるから、成分で表すと

$$(a, b) = \left( \frac{c}{k}, \frac{d}{k} \right)$$

すなわち、$a = \frac{c}{k}$、$b = \frac{d}{k}$ である。これを上の式に代入して、

$$2 \cdot \frac{c}{k} + \frac{d}{k} - 6 = 0$$

$$2c + d - 6k = 0$$

(1) の結果 $k = \frac{c^2 + d^2}{4}$ を代入すると、

$$2c + d - 6 \cdot \frac{c^2 + d^2}{4} = 0$$

$$2c + d - \frac{3}{2}(c^2 + d^2) = 0$$

両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けて整理すると、

$$c^2 + d^2 - \frac{4}{3}c - \frac{2}{3}d = 0$$

$$\left( c - \frac{2}{3} \right)^2 + \left( d - \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} + \frac{1}{9}$$

$$\left( c - \frac{2}{3} \right)^2 + \left( d - \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{5}{9}$$

点 $\text{Q}$ の座標は $(c, d)$ であるから、これを $(x, y)$ と書き換えることで、求める円 $C$ の方程式は

$$\left( x - \frac{2}{3} \right)^2 + \left( y - \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{5}{9}$$

(3)

点 $\text{P}$ が直線 $2x + y - 6 = 0$ 上の線分 $(0, 6)$ から $(3, 0)$ まで動くとき、点 $\text{P}$ の $x$ 座標と $y$ 座標はともに $x \geqq 0$ かつ $y \geqq 0$ を満たし、点 $\text{P}$ と原点 $\text{O}$ を結ぶ半直線 $\text{OP}$ が通る範囲は、第1象限（境界の軸上を含む）である。

条件 $\overrightarrow{\text{OQ}} = k\overrightarrow{\text{OP}} \ (k > 0)$ より、点 $\text{Q}$ は常に半直線 $\text{OP}$ 上にある。 点 $\text{P}$ が線分 $(0, 6)$ と $(3, 0)$ の間を動くとき、半直線 $\text{OP}$ の偏角は $\frac{\pi}{2}$ から $0$ まで連続的に変化し、点 $\text{Q}$ も円 $C$ 上の対応する点を連続的に動く。

ここで、円 $C$ と座標軸の交点を調べる。 $y$ 軸との交点は、$x = 0$ とすると

$$\left( -\frac{2}{3} \right)^2 + \left( y - \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{5}{9}$$

$$\left( y - \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}$$

$$y = \frac{1}{3} \pm \frac{1}{3} = \frac{2}{3}, 0$$

したがって、$(0, \frac{2}{3})$ と $(0, 0)$ である。

$x$ 軸との交点は、$y = 0$ とすると

$$\left( x - \frac{2}{3} \right)^2 + \left( -\frac{1}{3} \right)^2 = \frac{5}{9}$$

$$\left( x - \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$$

$$x = \frac{2}{3} \pm \frac{2}{3} = \frac{4}{3}, 0$$

したがって、$(\frac{4}{3}, 0)$ と $(0, 0)$ である。

点 $\text{P}$ が $(0, 6)$ にあるとき、点 $\text{Q}$ は $y$ 軸上の原点以外の点 $(0, \frac{2}{3})$ にある。 点 $\text{P}$ が $(3, 0)$ にあるとき、点 $\text{Q}$ は $x$ 軸上の原点以外の点 $(\frac{4}{3}, 0)$ にある。

点 $\text{P}$ が上記の範囲を動くとき、点 $\text{P}$ は原点に達しないため、$\text{OP} > 0$ であり、$k > 0$ より $\text{OQ} > 0$ である。よって点 $\text{Q}$ は原点にはならない。 以上より、点 $\text{Q}$ の動く範囲は、円 $C$ 上の点 $(0, \frac{2}{3})$ と点 $(\frac{4}{3}, 0)$ を結ぶ弧のうち、原点 $(0, 0)$ を含まない側の部分である。

（図示する際には、中心 $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$、半径 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ で原点を通る円を描き、第1象限にある弧の部分を実線で太く描き、両端点が含まれることを黒丸で明示する。）

解説

原点を中心とする反転 $r \cdot r' = a^2$ をベクトルで表現した、大学入試では典型的な軌跡の問題である。 反転の性質として、「原点を通らない直線は、原点を通る円に移る」という事実があり、本問の結果もそれに合致している。計算上は、(2) で求めた $\text{P}$ の座標を関係式に代入するだけで素直に円の方程式が導かれる。 (3) では、単に式で範囲を求めるよりも、半直線 $\text{OP}$ が掃く領域に着目して図形的に点 $\text{Q}$ の位置を特定する方が見通しが良く、論理の飛躍も少ない。

答え

(1)

$$k = \frac{c^2 + d^2}{4}$$

(2)

$$\left( x - \frac{2}{3} \right)^2 + \left( y - \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{5}{9}$$

(3) 中心 $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$、半径 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ の円上の点 $(0, \frac{2}{3})$ から点 $(\frac{4}{3}, 0)$ までの弧。ただし原点 $(0,0)$ を含まない側の弧であり、両端点を含む（図示は解答内の説明に従う）。