数学2 軌跡 問題 25 解説

方針・初手

点から放物線に引いた接線に関する問題は、接点の $x$ 座標を文字でおく方法と、接線の傾きを文字でおく方法の2通りが考えられる。どちらの方法でも、直交条件は「2つの接線の傾きの積が $-1$」として処理する。解と係数の関係を利用すると計算がスムーズに進む。

解法1

放物線 $y = x^2$ 上の接点の座標を $(t, t^2)$ とおく。

$y' = 2x$ より、接線の方程式は

$$y - t^2 = 2t(x - t)$$

$$y = 2tx - t^2$$

この接線が点 $(a, b)$ を通るので、代入して

$$b = 2at - t^2$$

$$t^2 - 2at + b = 0 \quad \cdots \text{(1)}$$

点 $(a, b)$ から2本の接線が引けるということは、$t$ についての2次方程式 (1) が異なる2つの実数解をもつということである。その2つの解を $t_1, t_2$ とすると、これらが2つの接点の $x$ 座標となる。

2つの接線が互いに直交するための条件は、それぞれの接線の傾き $2t_1, 2t_2$ の積が $-1$ になることであるから

$$2t_1 \cdot 2t_2 = -1$$

$$4t_1 t_2 = -1$$

$$t_1 t_2 = -\frac{1}{4}$$

2次方程式 (1) における解と係数の関係から $t_1 t_2 = b$ であるため、

$$b = -\frac{1}{4}$$

このとき、2次方程式 (1) の判別式を $D$ とすると

$$\frac{D}{4} = (-a)^2 - 1 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = a^2 + \frac{1}{4} > 0$$

となり、$a$ がどのような実数であっても異なる2つの実数解をもつ条件（異なる2本の接線が引ける条件）を満たしている。

解法2

点 $(a, b)$ を通り、傾きが $m$ の直線の方程式は、$x=a$ （$y$ 軸に平行な直線）ではないとすると

$$y - b = m(x - a)$$

$$y = mx - ma + b$$

と表せる。

この直線が放物線 $y = x^2$ と接するとき、連立させた方程式

$$x^2 = mx - ma + b$$

$$x^2 - mx + ma - b = 0$$

が重解をもつ。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ であるから

$$D = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (ma - b) = 0$$

$$m^2 - 4am + 4b = 0 \quad \cdots \text{(2)}$$

点 $(a, b)$ から引いた2本の接線が存在し、それらが直交するということは、$m$ についての2次方程式 (2) が異なる2つの実数解 $m_1, m_2$ をもち、かつ $m_1 m_2 = -1$ を満たすということである。

2次方程式 (2) における解と係数の関係から $m_1 m_2 = 4b$ であるため、

$$4b = -1$$

$$b = -\frac{1}{4}$$

なお、このとき $y$ 軸に平行な接線は存在せず、また判別式を満たすかどうかの確認（異なる2本の接線が引けることの確認）は解法1と同様に成り立つ。

解説

「放物線に引いた2本の接線が直交するような点の軌跡は、放物線の準線である」という有名な性質を背景とした問題である。放物線 $y = 4px^2$ の準線は $y = -p$ となるため、本問の $y = 1 \cdot x^2$ に当てはめると、$4p = 1$ より $p = 1/4$ となり、準線は $y = -1/4$ である。したがって、直交する接線を引くことができる点の $y$ 座標は常に $-1/4$ となる。この知識があれば答えの予想や検算が瞬時に可能である。

答え

$$-\frac{1}{4}$$