数学2 領域 問題 3 解説

方針・初手

領域は円と直線の不等式によって定義されている。まずは円の方程式から中心と半径を読み取り、直線との交点を求めて図形の位置関係を把握する。面積については、求めた交点と円の中心を結んでできる三角形と扇形を利用して計算する。

解法1

(1)

与えられた連立不等式は、

$$\begin{cases} x^2 + (y - \sqrt{3} - 1)^2 \leqq 4 \\ y \geqq 1 \end{cases}$$

である。第1の不等式は、点 $(0, \sqrt{3}+1)$ を中心とし、半径が $2$ の円の周および内部を表す。第2の不等式は、直線 $y=1$ およびその上側の領域を表す。

境界となる円 $x^2 + (y - \sqrt{3} - 1)^2 = 4$ と直線 $y = 1$ の交点の $x$ 座標を求める。円の方程式に $y=1$ を代入して、

$$x^2 + (1 - \sqrt{3} - 1)^2 = 4$$

$$x^2 + 3 = 4$$

$$x^2 = 1$$

$$x = \pm 1$$

となる。したがって、交点は $(-1, 1)$ と $(1, 1)$ である。 円の最下点の $y$ 座標は $\sqrt{3}+1-2 = \sqrt{3}-1$ であり、$\sqrt{3}-1 < 1$ であるから、直線 $y=1$ は円の最下点より上に位置する。

以上より、領域 $D$ は点 $(0, \sqrt{3}+1)$ を中心とする半径 $2$ の円の周および内部のうち、直線 $y=1$ の上側の部分である。境界線を含む。

(2)

円の中心を $\text{C}(0, \sqrt{3}+1)$、直線 $y=1$ との交点を $\text{A}(-1, 1)$、$\text{B}(1, 1)$ とする。 線分 $\text{AB}$ の中点を $\text{M}(0, 1)$ とすると、直角三角形 $\text{ACM}$ において、

$$\text{AM} = 1$$

$$\text{CM} = (\sqrt{3}+1) - 1 = \sqrt{3}$$

$$\text{AC} = 2$$

であるから、辺の比が $\text{AM} : \text{CM} : \text{AC} = 1 : \sqrt{3} : 2$ となる。 これにより、$\angle \text{ACM} = \frac{\pi}{6}$ となり、対称性から中心角 $\angle \text{ACB} = \frac{\pi}{3}$ であることがわかる。

領域 $D$ の面積 $S$ は、円全体の面積から直線 $y=1$ より下側にある弓形の面積を引いたものに等しい。 円の面積は、

$$\pi \cdot 2^2 = 4\pi$$

である。 下側の弓形の面積は、中心角 $\frac{\pi}{3}$ の扇形 $\text{CAB}$ の面積から、二等辺三角形 $\text{CAB}$ の面積を引いたものである。

$$(\text{扇形 CAB の面積}) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi$$

$$(\text{三角形 CAB の面積}) = \frac{1}{2} \cdot \text{AB} \cdot \text{CM} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$$

したがって、弓形の面積は、

$$\frac{2}{3}\pi - \sqrt{3}$$

となる。

よって、求める領域 $D$ の面積 $S$ は、

$$S = 4\pi - \left( \frac{2}{3}\pi - \sqrt{3} \right) = \frac{10}{3}\pi + \sqrt{3}$$

となる。

解法2

(2) について、領域 $D$ を扇形と三角形の和として直接求めることもできる。

領域 $D$ は、優角側の中心角 $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5}{3}\pi$ を持つ扇形と、三角形 $\text{CAB}$ を合わせた図形であると見なせる。

扇形の面積は、

$$\frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{5}{3}\pi = \frac{10}{3}\pi$$

である。 三角形 $\text{CAB}$ の面積は、解法1で求めた通り $\sqrt{3}$ である。

これらを足し合わせて、求める面積 $S$ は、

$$S = \frac{10}{3}\pi + \sqrt{3}$$

となる。

解説

図形と方程式の分野における、領域の図示と面積計算の標準的な問題である。 円と直線の交点や中心の位置関係を正確に把握することが重要である。特に交点と円の中心を結んでできる三角形が、辺の比から有名角を持つ直角三角形になることに気づけば、中心角が容易に求まり扇形の面積計算に帰着できる。

答え

(1)

点 $(0, \sqrt{3}+1)$ を中心とする半径 $2$ の円の周および内部のうち、直線 $y=1$ とその上側の部分（境界を含む）。

(2)

$$\frac{10}{3}\pi + \sqrt{3}$$