数学2 領域 問題 8 解説

方針・初手

$\cos\theta$ を $t$ に置き換え、$\theta$ が実数全体を動くときの $t$ の変域が $-1 \leqq t \leqq 1$ であることを確認する。 次に、$y$ を $x$ と $t$ の式で表す。ここで $x$ を固定した定数とみなし、$t$ を動かしたときの $y$ のとりうる範囲（値域）を求める「順像法」のアプローチが最も自然である。別のアプローチとして、$t$ の2次方程式が指定された範囲に実数解をもつ条件を考える「逆像法（解の配置）」も有効である。

解法1

$\cos \theta = t$ とおく。$\theta$ が実数全体を動くとき、$t$ のとりうる値の範囲は $-1 \leqq t \leqq 1$ である。 $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 2t^2 - 1$ であるから、与えられた直線の式は以下のように変形できる。

$$y = 2xt + (2t^2 - 1) - 1$$

$$y = 2t^2 + 2xt - 2$$

これを $t$ の関数とみて $f(t) = 2t^2 + 2xt - 2 \ (-1 \leqq t \leqq 1)$ とする。 $x$ を任意の実数として固定したとき、$f(t)$ のとりうる値の範囲が、求める領域の $y$ の範囲となる。 $f(t)$ を平方完成すると、

$$f(t) = 2\left(t + \frac{x}{2}\right)^2 - \frac{x^2}{2} - 2$$

となる。関数 $y = f(t)$ のグラフは、軸が $t = -\frac{x}{2}$ で下に凸の放物線である。 軸の位置によって以下のように場合分けをする。

(i) 軸が $t \leqq -1$ の範囲にあるとき

$-\frac{x}{2} \leqq -1$、すなわち $x \geqq 2$ のとき。 区間 $-1 \leqq t \leqq 1$ において、$f(t)$ は単調に増加する。 したがって、$y$ のとりうる範囲は $f(-1) \leqq y \leqq f(1)$ となる。

$$2 - 2x - 2 \leqq y \leqq 2 + 2x - 2$$

$$-2x \leqq y \leqq 2x$$

(ii) 軸が $-1 < t < 1$ の範囲にあるとき

$-1 < -\frac{x}{2} < 1$、すなわち $-2 < x < 2$ のとき。 $f(t)$ は頂点である $t = -\frac{x}{2}$ で最小値 $-\frac{x^2}{2} - 2$ をとる。 最大値は、区間の端点 $t = -1$ と $t = 1$ のうち、軸から遠い方でとる。 $0 \leqq x < 2$ のとき、軸 $t = -\frac{x}{2} \leqq 0$ であるから、$t = 1$ の方が軸から遠く、最大値は $f(1) = 2x$ となる。 $-2 < x < 0$ のとき、軸 $t = -\frac{x}{2} > 0$ であるから、$t = -1$ の方が軸から遠く、最大値は $f(-1) = -2x$ となる。 これらをまとめると、最大値は $2|x|$ と表せる。 したがって、$y$ のとりうる範囲は以下のようになる。

$$-\frac{x^2}{2} - 2 \leqq y \leqq 2|x|$$

(iii) 軸が $1 \leqq t$ の範囲にあるとき

$1 \leqq -\frac{x}{2}$、すなわち $x \leqq -2$ のとき。 区間 $-1 \leqq t \leqq 1$ において、$f(t)$ は単調に減少する。 したがって、$y$ のとりうる範囲は $f(1) \leqq y \leqq f(-1)$ となる。

$$2x \leqq y \leqq -2x$$

以上 (i), (ii), (iii) より、求める領域の不等式は以下の通りとなる。

$$\begin{cases} -2x \leqq y \leqq 2x & (x \geqq 2) \\ -\frac{1}{2}x^2 - 2 \leqq y \leqq 2|x| & (-2 < x < 2) \\ 2x \leqq y \leqq -2x & (x \leqq -2) \end{cases}$$

ここで、領域の境界の接続について確認する。 放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2$ と直線 $y = -2x$ の交点を求めると、

$$-\frac{1}{2}x^2 - 2 = -2x$$

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

$$(x - 2)^2 = 0$$

となり、$x = 2$ で接することがわかる。 同様に、放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2$ と直線 $y = 2x$ は $x = -2$ で接する。 したがって、下側の境界線は $x = \pm 2$ においてなめらかに繋がる。

解法2

$\cos \theta = t$ とおくと、$\theta$ が実数全体を動くとき $-1 \leqq t \leqq 1$ である。 与えられた関係式は $t$ について整理すると、以下の2次方程式になる。

$$2t^2 + 2xt - y - 2 = 0$$

求める領域は、この $t$ についての2次方程式が $-1 \leqq t \leqq 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつための $(x, y)$ の条件である。 $g(t) = 2t^2 + 2xt - y - 2$ とおく。

(i) 方程式 $g(t) = 0$ が $-1 \leqq t \leqq 1$ の範囲に2つの実数解（重解を含む）をもつ条件

判別式を $D$ とすると、$\frac{D}{4} \geqq 0$ より、

$$x^2 - 2(-y - 2) \geqq 0$$

$$y \geqq -\frac{1}{2}x^2 - 2$$

軸 $t = -\frac{x}{2}$ の位置について、

$$-1 \leqq -\frac{x}{2} \leqq 1 \iff -2 \leqq x \leqq 2$$

区間の端点の値について、両方とも $0$ 以上となるため、

$$g(1) = 2x - y \geqq 0 \iff y \leqq 2x$$

$$g(-1) = -2x - y \geqq 0 \iff y \leqq -2x$$

$y \leqq 2x$ かつ $y \leqq -2x$ は $y \leqq -2|x|$ とまとめられる。 これらをすべて満たす範囲は、以下のようになる。

$$-2 \leqq x \leqq 2 \quad \text{かつ} \quad -\frac{1}{2}x^2 - 2 \leqq y \leqq -2|x|$$

(ii) 方程式 $g(t) = 0$ が $-1 \leqq t \leqq 1$ の範囲にただ1つの実数解をもつ条件

これは、区間の両端における $g(t)$ の符号が異なるか、少なくとも一方が $0$ になることと同値である。

$$g(1)g(-1) \leqq 0$$

$$(2x - y)(-2x - y) \leqq 0$$

$$(y - 2x)(y + 2x) \leqq 0$$

これより、以下の範囲を得る。

$$-2|x| \leqq y \leqq 2|x|$$

求める領域は (i) と (ii) の和集合である。 $-2 \leqq x \leqq 2$ の範囲では、(i) の $y \leqq -2|x|$ と (ii) の $y \geqq -2|x|$ が繋がり、合わせて $-\frac{1}{2}x^2 - 2 \leqq y \leqq 2|x|$ となる。 $x < -2$ または $x > 2$ の範囲では、(i) の条件を満たさないため (ii) のみが該当し、$-2|x| \leqq y \leqq 2|x|$ となる。 これは解法1の結果と完全に一致する。

解説

変数が複数ある場合の領域問題における、典型的な2つのアプローチ（順像法・逆像法）のいずれでも解答できる。 解法1の順像法は、$x$ を固定して考えるため思考がシンプルであり、計算ミスを防ぎやすい。本問のように関数の最大値・最小値が直感的に捉えやすい場合に非常に有効である。 解法2の逆像法は、式を $t$ について整理し解の配置問題に帰着させる手法である。端点の値の扱い方などに注意が必要だが、定石通りの処理で確実に答えにたどり着くことができる。 また、図示する際には、境界となる放物線と直線が接することを確認し、図の形状を正確に捉えることが重要である。

答え

求める領域は、以下の不等式を満たす $(x, y)$ の集合である。

$$\begin{cases} -2x \leqq y \leqq 2x & (x \geqq 2) \\ -\frac{1}{2}x^2 - 2 \leqq y \leqq 2|x| & (-2 < x < 2) \\ 2x \leqq y \leqq -2x & (x \leqq -2) \end{cases}$$

これを図示すると、$xy$平面上において、

上側の境界が $y = 2|x|$、

下側の境界が $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2 \ (-2 \leqq x \leqq 2)$ および $y = -2|x| \ (|x| \geqq 2)$

で囲まれた領域となる。

放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2$ と直線 $y = -2x$ は点 $(2, -4)$ で接し、直線 $y = 2x$ とは点 $(-2, -4)$ で接する。

境界線はすべて含む。