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数学2 領域問題 13 解説

方針・初手

2つの放物線の交点に関する問題であるから、2式の差をとって得られる2次方程式の実数解を考える。交点の $x$ 座標 $x_1, x_2$ を用いて、解と係数の関係を利用して各条件を立式する。 (2) は交点を通る直線の方程式を求め、その通過領域を $a$ の方程式の解の存在条件に帰着させる包絡線の考え方を用いる。 (3) は条件式から $b$ を $a$ で表し、中点の $y$ 座標を $a$ の式で表して最小値を求める。

解法1

(1)

放物線 $A, B$ の方程式から $y$ を消去すると

$$x^2 = -(x-a)^2 + b$$

展開して整理すると

$$2x^2 - 2ax + a^2 - b = 0$$

この $x$ についての2次方程式の異なる2つの実数解が $x_1, x_2$ である。解と係数の関係より

$$x_1 + x_2 = a$$

$$x_1 x_2 = \frac{a^2 - b}{2}$$

条件より $x_1 - x_2 = 2$ である。両辺を2乗して

$$(x_1 - x_2)^2 = 4$$

$$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = 4$$

解と係数の関係で得た式を代入して

$$a^2 - 4 \cdot \frac{a^2 - b}{2} = 4$$

$$-a^2 + 2b = 4$$

よって

$$b = \frac{1}{2}a^2 + 2$$

なお、このとき2次方程式の判別式 $D$ について、$\frac{D}{4} = a^2 - 2(a^2 - b) = -a^2 + 2b = 4 > 0$ となり、常に異なる2点で交わるという条件を満たしている。

(2)

2点 $\mathrm{P}(x_1, x_1^2), \mathrm{Q}(x_2, x_2^2)$ を通る直線 $\mathrm{PQ}$ の方程式を求める。傾きは $\frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1 - x_2} = x_1 + x_2 = a$ であるから

$$y - x_1^2 = a(x - x_1)$$

$$y = ax - ax_1 + x_1^2$$

ここで、$y$ 切片の部分を変形すると

$$-ax_1 + x_1^2 = -(x_1 + x_2)x_1 + x_1^2 = -x_1 x_2 = -\frac{a^2 - b}{2}$$

(1) の結果 $b = \frac{1}{2}a^2 + 2$ を代入すると

$$-\frac{a^2 - b}{2} = -\frac{1}{2} \left\{ a^2 - \left(\frac{1}{2}a^2 + 2\right) \right\} = -\frac{1}{4}a^2 + 1$$

したがって、直線 $\mathrm{PQ}$ の方程式は

$$y = ax - \frac{1}{4}a^2 + 1$$

この直線が通過する領域は、$x, y$ を定数とみなしたとき、$a$ についての2次方程式

$$a^2 - 4xa + 4(y - 1) = 0$$

が実数解 $a$ をもつような $(x, y)$ の集合である。判別式を $D'$ とすると、$D' \ge 0$ であればよいので

$$\frac{D'}{4} = (-2x)^2 - 4(y - 1) \ge 0$$

$$4x^2 - 4y + 4 \ge 0$$

$$y \le x^2 + 1$$

よって、求める領域は不等式 $y \le x^2 + 1$ が表す領域であり、放物線 $y = x^2 + 1$ の下側（境界線を含む）となる。

(3)

点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ は $y = x^2$ 上にあるから、$y_1 = x_1^2, y_2 = x_2^2$ である。

$$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$$

$$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (x_1^2 - x_2^2)^2$$

$$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2 = \{1 + (x_1 + x_2)^2\} (x_1 - x_2)^2$$

ここで $x_1 + x_2 = a$ であり、(1) と同様に $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = -a^2 + 2b$ であるから

$$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2 = (1 + a^2)(-a^2 + 2b)$$

$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| = 2$ より $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2 = 4$ なので

$$(1 + a^2)(-a^2 + 2b) = 4$$

$$-a^2 + 2b = \frac{4}{a^2 + 1}$$

$$b = \frac{1}{2} \left( a^2 + \frac{4}{a^2 + 1} \right)$$

次に、線分 $\mathrm{PQ}$ の中点の $y$ 座標を $Y$ とすると

$$Y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{2}$$

$$Y = \frac{a^2 - (a^2 - b)}{2} = \frac{b}{2}$$

先ほど求めた $b$ の式を代入して

$$Y = \frac{1}{4} \left( a^2 + \frac{4}{a^2 + 1} \right) = \frac{1}{4} \left( a^2 + 1 + \frac{4}{a^2 + 1} - 1 \right)$$

$a^2 + 1 \ge 1 > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$a^2 + 1 + \frac{4}{a^2 + 1} \ge 2\sqrt{(a^2 + 1) \cdot \frac{4}{a^2 + 1}} = 4$$

したがって

$$Y \ge \frac{1}{4} (4 - 1) = \frac{3}{4}$$

等号が成立するのは $a^2 + 1 = \frac{4}{a^2 + 1}$ のときである。 $(a^2 + 1)^2 = 4$ であり、$a^2 + 1 \ge 1$ より $a^2 + 1 = 2$、すなわち $a = \pm 1$ のときに等号は成立する。よって、中点の $y$ 座標の最小値は $\frac{3}{4}$ である。

解説

解と係数の関係を利用する典型的な問題である。2つの放物線の交点を通る直線を考える際、両点が放物線 $y = x^2$ 上にあることから直線の傾きが $(x_1+x_2)$ となることを用いると計算がスムーズである。 (2) の通過領域は、直線の方程式を媒介変数 $a$ について整理し、実数解をもつ条件に帰着させる包絡線の手法が有効である。 (3) では、式の形から相加平均と相乗平均の大小関係を連想できるかがポイントとなる。分母に $a^2+1$ があることから、分子側に無理やり $a^2+1$ の形を作り出す変形が定石である。