数学2 領域 問題 17 解説

方針・初手

• (1) $\text{CH} \perp \text{AQ}$ より、ベクトルの内積 $\overrightarrow{\text{CH}} \cdot \overrightarrow{\text{AQ}} = 0$ を用いて実数 $k$ を求める。
• (2) 直角三角形 $\text{ACH}$ に着目し、三平方の定理を用いて線分 $\text{CH}$ の長さを求める。
• (3) 点 $\text{Q}$ が存在するための条件は、直線 $\text{AQ}$ が球面と共有点をもつことである。これは、球面の中心 $\text{C}$ から直線 $\text{AQ}$ に下ろした垂線の長さ $\text{CH}$ が、球面の半径以下であることと同値である。

解法1

(1)

$\text{A}(0, 0, 3)$，$\text{Q}(a, b, 0)$ より、

$$\overrightarrow{\text{AQ}} = (a, b, -3)$$

である。$\overrightarrow{\text{AH}} = k\overrightarrow{\text{AQ}}$ であるから、

$$\overrightarrow{\text{AH}} = (ka, kb, -3k)$$

となる。したがって、点 $\text{H}$ の座標は $\text{A}(0, 0, 3)$ を基準として

$$(ka, kb, 3 - 3k)$$

と表せる。

また、$\text{C}(0, 2, 2)$ であるから、

$$\begin{aligned} \overrightarrow{\text{CH}} &= \overrightarrow{\text{AH}} - \overrightarrow{\text{AC}} \\ &= k\overrightarrow{\text{AQ}} - \overrightarrow{\text{AC}} \\ &= (ka, kb, -3k) - (0, 2, -1) \\ &= (ka, kb - 2, -3k + 1) \end{aligned}$$

となる。$\text{CH} \perp \text{AQ}$ より $\overrightarrow{\text{CH}} \cdot \overrightarrow{\text{AQ}} = 0$ であるから、

$$ka^2 + b(kb - 2) - 3(-3k + 1) = 0$$

$$k(a^2 + b^2 + 9) - 2b - 3 = 0$$

$$k(a^2 + b^2 + 9) = 2b + 3$$

ここで、$a^2 + b^2 + 9 > 0$ であるから、

$$k = \frac{2b + 3}{a^2 + b^2 + 9}$$

である。これを点 $\text{H}$ の座標の各式に代入すると、

$$\begin{aligned} x &= \frac{a(2b + 3)}{a^2 + b^2 + 9} \\ y &= \frac{b(2b + 3)}{a^2 + b^2 + 9} \\ z &= 3 - \frac{3(2b + 3)}{a^2 + b^2 + 9} = \frac{3(a^2 + b^2 + 9) - 6b - 9}{a^2 + b^2 + 9} = \frac{3a^2 + 3b^2 - 6b + 18}{a^2 + b^2 + 9} \end{aligned}$$

となる。

(2)

$\triangle \text{ACH}$ は $\angle \text{AHC} = 90^\circ$ の直角三角形であるから、三平方の定理より

$$\text{CH}^2 = |\overrightarrow{\text{AC}}|^2 - |\overrightarrow{\text{AH}}|^2$$

が成り立つ。ここで、

$$|\overrightarrow{\text{AC}}|^2 = 0^2 + 2^2 + (-1)^2 = 5$$

であり、また

$$\begin{aligned} |\overrightarrow{\text{AH}}|^2 &= |k\overrightarrow{\text{AQ}}|^2 \\ &= k^2 (a^2 + b^2 + (-3)^2) \\ &= k^2 (a^2 + b^2 + 9) \\ &= \left( \frac{2b + 3}{a^2 + b^2 + 9} \right)^2 (a^2 + b^2 + 9) \\ &= \frac{(2b + 3)^2}{a^2 + b^2 + 9} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \text{CH}^2 &= 5 - \frac{(2b + 3)^2}{a^2 + b^2 + 9} \\ &= \frac{5(a^2 + b^2 + 9) - (4b^2 + 12b + 9)}{a^2 + b^2 + 9} \\ &= \frac{5a^2 + 5b^2 + 45 - 4b^2 - 12b - 9}{a^2 + b^2 + 9} \\ &= \frac{5a^2 + b^2 - 12b + 36}{a^2 + b^2 + 9} \end{aligned}$$

となる。したがって、

$$\text{CH} = \sqrt{\frac{5a^2 + b^2 - 12b + 36}{a^2 + b^2 + 9}}$$

である。

(3)

直線 $\text{AQ}$ と球面が共有点をもつための条件は、球面の中心 $\text{C}$ から直線 $\text{AQ}$ までの距離 $\text{CH}$ が、球面の半径 $1$ 以下であることである。すなわち、

$$\text{CH} \le 1$$

である。両辺は正であるから、2乗して

$$\text{CH}^2 \le 1$$

$$\frac{5a^2 + b^2 - 12b + 36}{a^2 + b^2 + 9} \le 1$$

$a^2 + b^2 + 9 > 0$ より、両辺に $a^2 + b^2 + 9$ を掛けて

$$5a^2 + b^2 - 12b + 36 \le a^2 + b^2 + 9$$

$$4a^2 - 12b + 27 \le 0$$

$$12b \ge 4a^2 + 27$$

$$b \ge \frac{1}{3}a^2 + \frac{9}{4}$$

となる。これは $xy$ 平面上における点 $\text{Q}(a, b)$ の存在範囲を表す不等式である。 よって、点 $\text{Q}$ の存在範囲は不等式 $y \ge \frac{1}{3}x^2 + \frac{9}{4}$ の表す領域であり、図示すると $xy$ 平面上の放物線 $y = \frac{1}{3}x^2 + \frac{9}{4}$ およびその上側の領域となる（境界線を含む）。

解説

空間図形において、直線と球面の交差条件を「中心から直線までの距離と半径の大小関係」に帰着させるのが定石である。(1), (2) はその準備として垂線の長さを求める誘導となっている。成分計算においてベクトルの内積や三平方の定理を用いることで、煩雑な処理を避けて見通しよく解くことができる。

答え

(1) $k = \frac{2b+3}{a^2+b^2+9}$，点 $\text{H}$ の座標は $\left( \frac{a(2b+3)}{a^2+b^2+9}, \frac{b(2b+3)}{a^2+b^2+9}, \frac{3a^2+3b^2-6b+18}{a^2+b^2+9} \right)$

(2) $\text{CH} = \sqrt{\frac{5a^2+b^2-12b+36}{a^2+b^2+9}}$

(3) 存在範囲の式は $b \ge \frac{1}{3}a^2 + \frac{9}{4}$（図示は放物線 $y = \frac{1}{3}x^2 + \frac{9}{4}$ およびその上側領域、境界を含む）