数学2 領域 問題 24 解説

方針・初手

$C_1$ と $C_2$ が接するという条件を、接点の $x$ 座標を $t$ とおいて $y$ 座標と傾きが一致するという連立方程式で処理する。 (1) で得られた接点の座標を $(x, y)$ とおき、$a, b, c$ を $x, y$ の式で表す。(2) では、それらを条件 (i) の不等式および「$a, b, c$ は $0$ でない実数」という条件に代入し、$x, y$ の満たすべき領域を求める。

解法1

(1)

$f(x) = ax^2$、$g(x) = b(x-1)^2 + c$ とおく。 $C_1, C_2$ が $x = t$ において接するとすると、共有点をもち、かつそこでの接線の傾きが等しいため、以下の条件が成り立つ。

$$f(t) = g(t) \quad \text{かつ} \quad f'(t) = g'(t)$$

これを計算すると、次の2式を得る。

$$at^2 = b(t-1)^2 + c$$

$$2at = 2b(t-1)$$

第2式より $at = b(t-1)$ である。ここで $t = 1$ と仮定すると $a = 0$ となるが、これは問題の条件 $a \neq 0$ に反する。ゆえに $t \neq 1$ である。 したがって $b = \frac{at}{t-1}$ と表せる。これを第1式に代入する。

$$at^2 = \frac{at}{t-1}(t-1)^2 + c$$

$$at^2 = at(t-1) + c$$

$$at = c$$

$a \neq 0$ であるから、$t = \frac{c}{a}$ となる。 このときの $y$ 座標は $y = a \left(\frac{c}{a}\right)^2 = \frac{c^2}{a}$ である。 以上より、接点の座標は $\left(\frac{c}{a}, \frac{c^2}{a}\right)$ である。

(2)

(1) で求めた接点の座標を $(x, y)$ とおく。

$$x = \frac{c}{a}, \quad y = \frac{c^2}{a}$$

$c \neq 0$ より $x \neq 0$ である。このとき $y = ax^2$ より $a = \frac{y}{x^2}$ と表せる。 また、$c = ax = \frac{y}{x}$ である。 さらに、(1) で得た $b = \frac{at}{t-1}$ に $t = x$ と $a = \frac{y}{x^2}$ を代入する。

$$b = \frac{\frac{y}{x^2} \cdot x}{x-1} = \frac{y}{x(x-1)}$$

ここで、問題の条件より $a, b, c$ はすべて $0$ でない実数であるため、それぞれの分子に現れる $y$ は $y \neq 0$ でなければならない。 また、$b$ が実数として存在するためには分母が $0$ になってはならないので、$x(x-1) \neq 0$、すなわち $x \neq 0$ かつ $x \neq 1$ である。 以上をまとめると、$x \neq 0$ かつ $x \neq 1$ かつ $y \neq 0$ が、$a, b, c$ が $0$ でない実数となるための必要十分条件である。

次に、条件 (i) の不等式 $1 + c^2 \leqq 2a$ に $a = \frac{y}{x^2}$ と $c = \frac{y}{x}$ を代入する。

$$1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2 \leqq 2\left(\frac{y}{x^2}\right)$$

$x \neq 0$ より $x^2 > 0$ であるから、両辺に $x^2$ を掛けて整理する。

$$x^2 + y^2 \leqq 2y$$

$$x^2 + (y-1)^2 \leqq 1$$

これは、中心 $(0,1)$、半径 $1$ の円の内部および境界を表す。 この領域のうち、除外条件 $x = 0$ または $x = 1$ または $y = 0$ に該当する点を除く。 円 $x^2 + (y-1)^2 \leqq 1$ 上において $y = 0$ となる点は原点 $(0,0)$ のみであり、これは $x = 0$ に含まれる。 したがって、求める範囲は円 $x^2 + (y-1)^2 \leqq 1$ の内部および境界から、直線 $x = 0$（$y$ 軸）上の点と、直線 $x = 1$ 上の点を除いた部分である。

解説

2つの放物線が接するという条件から接点の座標を求め、その軌跡を調べる問題である。 接点の座標を $(x, y)$ とおいて $a, b, c$ を $x, y$ の式で表し、与えられた条件に代入する「逆像法」の考え方が有効である。 軌跡を求める際、与えられた不等式の処理だけでなく、問題文の冒頭にある「$0$ でない実数 $a, b, c$」という条件が $x, y$ に対する隠れた除外条件（$x \neq 0, x \neq 1, y \neq 0$）を生み出す点に注意が必要である。

答え

(1)

$$\left( \frac{c}{a}, \frac{c^2}{a} \right)$$

(2)

$$x^2 + (y-1)^2 \leqq 1 \quad \text{ただし、} x \neq 0 \text{ かつ } x \neq 1$$

図示する範囲は、中心 $(0,1)$、半径 $1$ の円の周および内部である。

ただし、直線 $x=0$ 上の点（点 $(0,0)$ と点 $(0,2)$ およびこれらを結ぶ線分上の点）と、直線 $x=1$ 上の点（点 $(1,1)$）を除く。