数学2 領域 問題 26 解説

方針・初手

求める点を $(X, Y)$ とおく。$X = x+y$、$Y = xy$ と表せることから、$x, y$ の対称式であることに着目する。$x, y$ が実数として存在するための条件（判別式）と、与えられた条件 $x^2+y^2<1$ をそれぞれ $X, Y$ の不等式で表し、それらが同時に成り立つ領域を図示する。

解法1

求める点の座標を $(X, Y)$ とおくと、

$$X = x + y, \quad Y = xy$$

である。$x, y$ は、$t$ についての2次方程式

$$t^2 - Xt + Y = 0$$

の2つの実数解（重解を含む）である。したがって、この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D \ge 0$ でなければならない。

$$D = X^2 - 4Y \ge 0$$

これを整理すると、

$$Y \le \frac{1}{4}X^2$$

となる。

次に、点 $(x, y)$ は原点を中心とする半径 $1$ の円の内部を動くので、

$$x^2 + y^2 < 1$$

を満たす。左辺を $X, Y$ を用いて表すと、

$$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = X^2 - 2Y$$

となるので、条件の不等式は

$$X^2 - 2Y < 1$$

となる。これを $Y$ について整理すると、

$$Y > \frac{1}{2}X^2 - \frac{1}{2}$$

となる。

したがって、点 $(X, Y)$ の動く範囲は、以下の2つの不等式を同時に満たす領域である。

$$\begin{cases} Y \le \frac{1}{4}X^2 \\ Y > \frac{1}{2}X^2 - \frac{1}{2} \end{cases}$$

ここで、2つの放物線 $Y = \frac{1}{4}X^2$ と $Y = \frac{1}{2}X^2 - \frac{1}{2}$ の交点の $X$ 座標を求める。

$$\frac{1}{4}X^2 = \frac{1}{2}X^2 - \frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{4}X^2 = \frac{1}{2}$$

$$X^2 = 2$$

$$X = \pm \sqrt{2}$$

このとき、$Y = \frac{1}{2}$ となる。交点は $(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ および $(-\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ である。

これらをもとに領域を図示する。

解説

対称式 $x+y$ と $xy$ を座標に持つ点の軌跡を求める典型問題である。このような問題では、「$x, y$ が実数として存在する条件」を忘れないようにすることが極めて重要である。本問では $x^2+y^2<1$ という条件に目を奪われがちだが、解と係数の関係から導かれる判別式 $D \ge 0$ の条件を見落とすと誤答となる。軌跡・領域の問題では、設定した変数が元の変数の実数存在条件を満たしているかを常に確認する癖をつけておきたい。

答え

点 $(x+y, xy)$ の動く範囲は、横軸を $x$ 軸、縦軸を $y$ 軸とした座標平面上において、次の連立不等式が表す領域である。

$$\begin{cases} y \le \frac{1}{4}x^2 \\ y > \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2} \end{cases}$$

図示すると、放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ の下側（境界線を含む）かつ、放物線 $y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}$ の上側（境界線を含まない）の領域となる。

（2つの放物線の交点は $(\sqrt{2}, \frac{1}{2}), (-\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ であり、この2点においては前者の境界線上にあるため領域に含まれるが、後者の境界として除外されるため、交点自体は領域に含まれない）