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数学2 領域問題 35 解説

方針・初手

曲線の通過領域を求める問題には、大きく分けて2つのアプローチがある。 1つは、$x$ を固定して実数 $a$ を動かしたときの $y$ のとりうる値の範囲を求める「順像法（ファクシミリの原理）」である。もう1つは、点 $(x, y)$ を通過領域内の点と仮定し、その条件を満たす実数 $a$ が存在するための $(x, y)$ の条件を求める「逆像法（解の存在範囲）」である。本問の式は $y$ について解かれているため、順像法を用いると $a$ の2次関数の最大・最小問題に帰着され、見通しよく解くことができる。

解法1

$C : y = (x - a)^2 - 2a^2 + 1$ を展開して $a$ について整理すると、

$$y = -a^2 - 2xa + x^2 + 1$$

これを $a$ についての関数とみて、$f(a) = -a^2 - 2xa + x^2 + 1$ とおく。平方完成すると、

$$f(a) = -(a + x)^2 + 2x^2 + 1$$

これは上に凸の放物線を表し、軸は直線 $a = -x$、頂点は $(-x, 2x^2 + 1)$ である。

(1) $a$ がすべての実数を動くとき、$y$ のとりうる値の範囲は、関数 $f(a)$ の値域である。 $f(a)$ は $a = -x$ のとき最大値 $2x^2 + 1$ をとるため、

$$y \leqq 2x^2 + 1$$

したがって、求める領域は不等式 $y \leqq 2x^2 + 1$ が表す領域である。

(2) $a$ が $-1 \leqq a \leqq 1$ の範囲を動くとき、$y$ のとりうる値の範囲は、定義域 $-1 \leqq a \leqq 1$ における $f(a)$ の値域である。軸 $a = -x$ の位置によって場合分けを行う。

(i) $-x < -1$ すなわち $x > 1$ のとき定義域において $f(a)$ は単調減少する。最大値は $f(-1) = x^2 + 2x$ 最小値は $f(1) = x^2 - 2x$ よって、$x^2 - 2x \leqq y \leqq x^2 + 2x$

(ii) $-1 \leqq -x < 0$ すなわち $0 < x \leqq 1$ のとき軸は定義域に含まれ、区間の中点 $a = 0$ より右側（または一致）にある。最大値は $f(-x) = 2x^2 + 1$ 最小値は端点のうち軸から遠い方の値であるから $f(1) = x^2 - 2x$ よって、$x^2 - 2x \leqq y \leqq 2x^2 + 1$

(iii) $0 \leqq -x \leqq 1$ すなわち $-1 \leqq x \leqq 0$ のとき軸は定義域に含まれ、区間の中点 $a = 0$ より左側（または一致）にある。最大値は $f(-x) = 2x^2 + 1$ 最小値は端点のうち軸から遠い方の値であるから $f(-1) = x^2 + 2x$ よって、$x^2 + 2x \leqq y \leqq 2x^2 + 1$

(iv) $1 < -x$ すなわち $x < -1$ のとき定義域において $f(a)$ は単調増加する。最大値は $f(1) = x^2 - 2x$ 最小値は $f(-1) = x^2 + 2x$ よって、$x^2 + 2x \leqq y \leqq x^2 - 2x$

以上から、求める領域は $x$ の範囲に応じて上記の不等式で表される領域である。境界となる放物線について調べると、 $y = 2x^2 + 1$ と $y = x^2 + 2x$ について、差をとると $(2x^2 + 1) - (x^2 + 2x) = (x - 1)^2 \geqq 0$ となるため、点 $(1, 3)$ で接する。 $y = 2x^2 + 1$ と $y = x^2 - 2x$ について、差をとると $(2x^2 + 1) - (x^2 - 2x) = (x + 1)^2 \geqq 0$ となるため、点 $(-1, 3)$ で接する。また、$y = x^2 + 2x$ と $y = x^2 - 2x$ は原点 $(0, 0)$ で交わる。

解法2

$C : y = (x - a)^2 - 2a^2 + 1$ を $a$ について整理すると、

$$a^2 + 2xa - x^2 + y - 1 = 0 \quad \cdots (*)$$

点 $(x, y)$ が通過領域に含まれるための条件は、方程式 $(*)$ が与えられた $a$ の範囲に実数解をもつことである。

(1) $a$ はすべての実数を動くため、$(*)$ が少なくとも1つの実数解をもつことが条件である。 $(*)$ の判別式を $D$ とすると、$D \geqq 0$ となればよい。

$$\frac{D}{4} = x^2 - (-x^2 + y - 1) = 2x^2 - y + 1$$

$2x^2 - y + 1 \geqq 0$ より、

$$y \leqq 2x^2 + 1$$

これが求める領域である。

(2) $(*)$ が $-1 \leqq a \leqq 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ条件を求める。 $g(a) = a^2 + 2xa - x^2 + y - 1$ とおくと、

$$g(a) = (a + x)^2 - 2x^2 + y - 1$$

これは下に凸の放物線で、軸は $a = -x$ である。求める条件は、以下の [A] または [B] のいずれかが成り立つことである。

[A] $-1 \leqq a \leqq 1$ の範囲に解を1つだけもち、もう1つの解は範囲外にある場合（重解でその解が範囲内にある場合も含む）条件は $g(-1)g(1) \leqq 0$ である。

$$g(-1) = 1 - 2x - x^2 + y - 1 = y - x^2 - 2x$$

$$g(1) = 1 + 2x - x^2 + y - 1 = y - x^2 + 2x$$

よって、$(y - x^2 - 2x)(y - x^2 + 2x) \leqq 0$ これを満たす領域は、 $y \geqq x^2 + 2x$ かつ $y \leqq x^2 - 2x$ （$x \leqq 0$ のとき存在）または $y \leqq x^2 + 2x$ かつ $y \geqq x^2 - 2x$ （$x \geqq 0$ のとき存在）すなわち、

$x \leqq 0$ のとき $x^2 + 2x \leqq y \leqq x^2 - 2x$
$x \geqq 0$ のとき $x^2 - 2x \leqq y \leqq x^2 + 2x$

[B] $-1 \leqq a \leqq 1$ の範囲に異なる2つの実数解をもつ場合条件は、 (ア) 判別式：$D/4 > 0 \iff y < 2x^2 + 1$ (イ) 軸の位置：$-1 < -x < 1 \iff -1 < x < 1$ (ウ) 端点の符号：$g(-1) > 0 \iff y > x^2 + 2x$ (エ) 端点の符号：$g(1) > 0 \iff y > x^2 - 2x$ (ウ) と (エ) より、$-1 < x \leqq 0$ のときは $y > x^2 - 2x$、$0 \leqq x < 1$ のときは $y > x^2 + 2x$ となる。したがって、

$-1 < x < 0$ のとき $x^2 - 2x < y < 2x^2 + 1$
$0 \leqq x < 1$ のとき $x^2 + 2x < y < 2x^2 + 1$

[A] と [B] の和集合をとると、

$x < -1$ のとき、$x^2 + 2x \leqq y \leqq x^2 - 2x$
$-1 \leqq x \leqq 0$ のとき、$x^2 + 2x \leqq y \leqq 2x^2 + 1$
$0 < x \leqq 1$ のとき、$x^2 - 2x \leqq y \leqq 2x^2 + 1$
$x > 1$ のとき、$x^2 - 2x \leqq y \leqq x^2 + 2x$

となり、解法1と同じ結果を得る。

解説

通過領域を求める際の王道である「順像法（$x$を固定）」と「逆像法（解の存在範囲）」のどちらでも解ける標準的な問題である。ただし、本問のように関係式に $y$ が1次、$a$ が2次で含まれる場合は、式を $y = f(a)$ の形に変形して順像法を用いる方が、場合分けの見通しが良く、計算量も少なく済むことが多い。図示を要求されているため、複数の境界曲線の上下関係や交点（接点）の位置を正確に把握しておく必要がある。境界線同士が接することに気づけると、グラフの形状を正しく描きやすい。