数学2 領域 問題 36 解説

方針・初手

線分 $\mathrm{PQ}$ 上の点を $(x, y)$ とおき、$t$ が $1 \leqq t \leqq 2$ を動くときの $(x, y)$ の存在範囲を求める。 線分 $\mathrm{PQ}$ の方程式は $tx + \frac{y}{t} = 1$ かつ $x \geqq 0, y \geqq 0$ である。 $x$ を固定して $t$ を動かし $y$ のとりうる値の範囲を調べる「ファクシミリの原理（順手流）」を用いるか、$x, y$ を固定して $t$ の方程式の実数解の存在条件に帰着させる「逆手流」を用いるのが定石である。

解法1

線分 $\mathrm{PQ}$ 上の点を $(x, y)$ とすると、$x \geqq 0$ かつ $y \geqq 0$ であり、直線 $\mathrm{PQ}$ の方程式は

$$\frac{x}{\frac{1}{t}} + \frac{y}{t} = 1 \iff y = -xt^2 + t$$

である。 求める領域は、$x \geqq 0$ を固定し、$t$ が $1 \leqq t \leqq 2$ の範囲を動くときの $y = -xt^2 + t$ の値域を求め、それと $y \geqq 0$ の共通部分をとったものである。 $g(t) = -xt^2 + t$ とおく。

(i) $x = 0$ のとき

$g(t) = t$ であり、$1 \leqq t \leqq 2$ より

$$1 \leqq y \leqq 2$$

(ii) $x > 0$ のとき

$g(t)$ は $t$ の2次関数であり、次のように平方完成される。

$$g(t) = -x\left(t - \frac{1}{2x}\right)^2 + \frac{1}{4x}$$

これは上に凸の放物線であり、軸は直線 $t = \frac{1}{2x}$ である。 軸の位置によって場合分けを行う。

(ア) $\frac{1}{2x} \geqq 2$ すなわち $0 < x \leqq \frac{1}{4}$ のとき

区間 $1 \leqq t \leqq 2$ において $g(t)$ は単調増加する。 したがって、$g(1) \leqq y \leqq g(2)$ となり、

$$-x + 1 \leqq y \leqq -4x + 2$$

このとき、$x \leqq \frac{1}{4}$ より $-x + 1 > 0$ であるから $y \geqq 0$ を満たす。

(イ) $1 \leqq \frac{1}{2x} \leqq 2$ すなわち $\frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ のとき

$t = \frac{1}{2x}$ で最大値 $\frac{1}{4x}$ をとる。 最小値は $g(1)$ と $g(2)$ の小さい方である。

$$g(1) - g(2) = (-x + 1) - (-4x + 2) = 3x - 1$$

$\frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{1}{3}$ のとき、$3x - 1 \leqq 0$ より $g(1) \leqq g(2)$ となるため、最小値は $g(1) = -x + 1$。 よって、

$$-x + 1 \leqq y \leqq \frac{1}{4x}$$

このとき $y \geqq 0$ を満たす。

$\frac{1}{3} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ のとき、$3x - 1 \geqq 0$ より $g(2) \leqq g(1)$ となるため、最小値は $g(2) = -4x + 2$。 よって、

$$-4x + 2 \leqq y \leqq \frac{1}{4x}$$

このとき $y \geqq 0$ を満たす。

(ウ) $\frac{1}{2x} \leqq 1$ すなわち $x \geqq \frac{1}{2}$ のとき

区間 $1 \leqq t \leqq 2$ において $g(t)$ は単調減少する。 したがって、$g(2) \leqq y \leqq g(1)$ となり、

$$-4x + 2 \leqq y \leqq -x + 1$$

これと $y \geqq 0$ の共通部分をとる。 $y \leqq -x + 1$ かつ $y \geqq 0$ が成り立つには $x \leqq 1$ が必要である。 また $x \geqq \frac{1}{2}$ のとき $-4x + 2 \leqq 0$ であるため、

$$0 \leqq y \leqq -x + 1$$

となる。

以上の結果をまとめると、求める領域の不等式は以下のようになる。

$$\begin{cases} -x + 1 \leqq y \leqq -4x + 2 & \left(0 \leqq x \leqq \frac{1}{4}\right) \\ -x + 1 \leqq y \leqq \frac{1}{4x} & \left(\frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{1}{3}\right) \\ -4x + 2 \leqq y \leqq \frac{1}{4x} & \left(\frac{1}{3} \leqq x \leqq \frac{1}{2}\right) \\ 0 \leqq y \leqq -x + 1 & \left(\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1\right) \end{cases}$$

解法2

線分 $\mathrm{PQ}$ 上の点を $(x, y)$ とおくと、$x \geqq 0$ かつ $y \geqq 0$ であり、線分 $\mathrm{PQ}$ の方程式は次のように変形できる。

$$tx + \frac{y}{t} = 1 \iff xt^2 - t + y = 0$$

点 $(x, y)$ が通過領域に含まれるための条件は、$t$ についての方程式 $xt^2 - t + y = 0$ が $1 \leqq t \leqq 2$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことである。 $f(t) = xt^2 - t + y$ とおく。

(i) $x = 0$ のとき

$f(t) = -t + y = 0$ より $t = y$ である。 $1 \leqq t \leqq 2$ に解をもつ条件は

$$1 \leqq y \leqq 2$$

(ii) $x > 0$ のとき

$f(t)$ は2次関数であり、

$$f(t) = x\left(t - \frac{1}{2x}\right)^2 + y - \frac{1}{4x}$$

$y \geqq 0$ のもとで、$f(t) = 0$ が $1 \leqq t \leqq 2$ に少なくとも1つの解をもつ条件を考える。

(ア) $1 \leqq t \leqq 2$ に2つの解（重解を含む）をもつ場合

判別式を $D$ とすると、$D = 1 - 4xy \geqq 0$。 軸の位置、および区間の両端での値の条件から、以下の連立不等式を得る。

$$\begin{cases} y \leqq \frac{1}{4x} \\ 1 \leqq \frac{1}{2x} \leqq 2 \\ f(1) = x - 1 + y \geqq 0 \\ f(2) = 4x - 2 + y \geqq 0 \end{cases}$$

これを整理すると、

$$\begin{cases} \frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{1}{2} \\ y \leqq \frac{1}{4x} \\ y \geqq -x + 1 \\ y \geqq -4x + 2 \end{cases}$$

直線 $y = -x + 1$ と $y = -4x + 2$ の上下関係は $x = \frac{1}{3}$ で入れ替わるため、

$$\begin{cases} -x + 1 \leqq y \leqq \frac{1}{4x} & \left(\frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{1}{3}\right) \\ -4x + 2 \leqq y \leqq \frac{1}{4x} & \left(\frac{1}{3} \leqq x \leqq \frac{1}{2}\right) \end{cases}$$

となる。

(イ) $1 \leqq t \leqq 2$ にただ1つの解をもつ（もう1つの解は範囲外となる）場合

$$f(1)f(2) \leqq 0 \iff (y + x - 1)(y + 4x - 2) \leqq 0$$

これは、点 $(x, y)$ が直線 $y = -x + 1$ と $y = -4x + 2$ に挟まれた領域にあることを意味する。

$$\begin{cases} -x + 1 \leqq y \leqq -4x + 2 & \left(x \leqq \frac{1}{3}\right) \\ -4x + 2 \leqq y \leqq -x + 1 & \left(x \geqq \frac{1}{3}\right) \end{cases}$$

これと $y \geqq 0$ の共通部分をとると、

$$\begin{cases} -x + 1 \leqq y \leqq -4x + 2 & \left(0 < x \leqq \frac{1}{3}\right) \\ 0 \leqq y \leqq -x + 1 & \left(\frac{1}{3} \leqq x \leqq 1\right) \end{cases}$$

(ア) と (イ) の和集合をとり、$x=0$ の場合を合わせることで、解法1と同じ不等式で表される領域が得られる。

解説

領域図示の標準的な問題である。線分の方程式を立式した後、動かす文字（本問では $t$）に注目するか、固定する文字（本問では $x$ や $y$）に注目するかの2通りのアプローチが考えられる。 解法1のように1変数を固定して関数の値域を調べる方法は「ファクシミリの原理」と呼ばれ、見通しよく処理できることが多い。 解法2のように方程式の解の配置問題に帰着させる手法も定石であり、包絡線の考え方と結びついている。 図示の際は、直線同士の交点、および直線と曲線の接点を明確に求めておくことが重要である。本問では $x = \frac{1}{4}$ と $x = \frac{1}{2}$ において、曲線 $y = \frac{1}{4x}$ と2本の直線がなめらかに接することを確認しておきたい。

答え

求める領域は、以下の不等式が表す領域である。境界線を含む。

$0 \leqq x \leqq \frac{1}{4}$ のとき $-x + 1 \leqq y \leqq -4x + 2$

$\frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{1}{3}$ のとき $-x + 1 \leqq y \leqq \frac{1}{4x}$

$\frac{1}{3} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ のとき $-4x + 2 \leqq y \leqq \frac{1}{4x}$

$\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1$ のとき $0 \leqq y \leqq -x + 1$

これを図示すると、以下の曲線と直線で囲まれた図形となる。

上側の境界：線分 $(0, 2)$ から $\left(\frac{1}{4}, 1\right)$、曲線 $y = \frac{1}{4x}$ の $\left(\frac{1}{4}, 1\right)$ から $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$、線分 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ から $(1, 0)$

下側の境界：線分 $(0, 1)$ から $\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$、線分 $\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$ から $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$、線分 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ から $(1, 0)$