数学2 領域 問題 37 解説

方針・初手

点 $\text{P}$、$\text{Q}$ の座標をそれぞれ $p, q$ を用いて表し、面積の条件から $p, q$ の関係式を導く。その後、線分 $\text{PQ}$ の方程式を立て、パラメータ $p$ が条件を満たして動くときの直線群の通過領域を求める。通過領域を求める手法としては、片方の変数を固定してもう一方の変数のとりうる範囲を調べる順像法（ファクシミリの原理）や、パラメータについての変数の方程式と見て実数解の存在条件に帰着させる逆像法が有効である。

解法1

$\text{P}$ は辺 $\text{OA}$ 上、$\text{Q}$ は辺 $\text{OB}$ 上にあるので、$\text{P}(p, 0), \text{Q}(0, q)$ とおける。点 $\text{P}, \text{Q}$ はそれぞれの辺の端点にもなりうるが、面積を2等分するという条件から点 $\text{O}$ に一致することはないため、$0 < p \leqq 1, 0 < q \leqq 1$ である。

$\triangle\text{OAB}$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ である。線分 $\text{PQ}$ が $\triangle\text{OAB}$ の面積を2等分するとき、$\triangle\text{OPQ}$ の面積は $\frac{1}{4}$ となるので、

$$\frac{1}{2}pq = \frac{1}{4} \iff q = \frac{1}{2p}$$

が成り立つ。$0 < q \leqq 1$ であるから、

$$0 < \frac{1}{2p} \leqq 1 \iff p \geqq \frac{1}{2}$$

よって、$p$ のとりうる値の範囲は $\frac{1}{2} \leqq p \leqq 1$ である。 線分 $\text{PQ}$ 上の点 $(x, y)$ は、直線 $\text{PQ}$ の方程式 $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ を満たし、かつ第1象限および軸上の点である。$q = \frac{1}{2p}$ を代入すると、

$$\frac{x}{p} + 2py = 1 \quad (x \geqq 0, y \geqq 0)$$

となる。$x$ を $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で固定し、$p$ が $\frac{1}{2} \leqq p \leqq 1$ を動くときの $y$ のとりうる値の範囲を求める。上式を $y$ について解くと、

$$y = - \frac{x}{2p^2} + \frac{1}{2p}$$

ここで $t = \frac{1}{p}$ とおくと、$p$ の範囲 $\frac{1}{2} \leqq p \leqq 1$ は $1 \leqq t \leqq 2$ に対応する。$y$ を $t$ の関数とみて $f(t)$ とおくと、

$$f(t) = - \frac{x}{2}t^2 + \frac{1}{2}t \quad (1 \leqq t \leqq 2)$$

となる。$x = 0$ のとき $f(t) = \frac{1}{2}t$ となり、$1 \leqq t \leqq 2$ より $\frac{1}{2} \leqq y \leqq 1$ となる。 $x > 0$ のとき、$f(t)$ を平方完成すると、

$$f(t) = - \frac{x}{2} \left( t - \frac{1}{2x} \right)^2 + \frac{1}{8x}$$

これは上に凸の放物線であり、軸の方程式は $t = \frac{1}{2x}$ である。定義域 $1 \leqq t \leqq 2$ と軸の位置関係で場合分けを行う。

(i) $\frac{1}{2x} > 2$ すなわち $0 < x < \frac{1}{4}$ のとき

関数 $f(t)$ は $1 \leqq t \leqq 2$ において単調に増加する。よって、$y$ の範囲は $f(1) \leqq y \leqq f(2)$ となる。

$$-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \leqq y \leqq -2x + 1$$

これは $x=0$ のときの $\frac{1}{2} \leqq y \leqq 1$ も満たす。

(ii) $1 \leqq \frac{1}{2x} \leqq 2$ すなわち $\frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ のとき

関数 $f(t)$ は $t = \frac{1}{2x}$ で最大値 $\frac{1}{8x}$ をとる。 最小値は $f(1)$ と $f(2)$ のうち小さくない方となる。両者の差をとると、

$$f(1) - f(2) = \left( -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \right) - (-2x + 1) = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$$

したがって、$x \leqq \frac{1}{3}$ のとき $f(1) \leqq f(2)$ であり、$x \geqq \frac{1}{3}$ のとき $f(1) \geqq f(2)$ である。 よって $y$ の範囲は以下のようになる。 $\frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{1}{3}$ のとき、

$$-2x + 1 \leqq y \leqq \frac{1}{8x}$$

$\frac{1}{3} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ のとき、

$$-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \leqq y \leqq \frac{1}{8x}$$

(iii) $\frac{1}{2x} < 1$ すなわち $x > \frac{1}{2}$ のとき

関数 $f(t)$ は $1 \leqq t \leqq 2$ において単調に減少する。よって、$y$ の範囲は $f(2) \leqq y \leqq f(1)$ となる。

$$-2x + 1 \leqq y \leqq -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$

以上より、各 $x$ に対する $y$ のとりうる範囲が求まった。

解法2

線分 $\text{PQ}$ の方程式の導出までは解法1と同様である。線分 $\text{PQ}$ 上の点 $(x, y)$ は $x \geqq 0, y \geqq 0$ であり、

$$\frac{x}{p} + 2py = 1$$

を満たす。この式を $p$ についての2次方程式とみる。

$$2y p^2 - p + x = 0$$

点 $(x, y)$ が線分 $\text{PQ}$ の通過領域にある条件は、この方程式が $\frac{1}{2} \leqq p \leqq 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことである。 $y=0$ のとき、方程式は $-p+x=0$ より $p=x$ となり、条件は $\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1$ となる。 $y>0$ のとき、$g(p) = 2yp^2 - p + x$ とおく。

$$g(p) = 2y \left( p - \frac{1}{4y} \right)^2 + x - \frac{1}{8y}$$

方程式 $g(p)=0$ が $\frac{1}{2} \leqq p \leqq 1$ に実数解をもつ条件は、次の (ア) または (イ) を満たすことである。

(ア) $\frac{1}{2} \leqq p \leqq 1$ にただ1つの解をもつ場合（境界を含む）

$g\left(\frac{1}{2}\right) g(1) \leqq 0$ であればよい。

$$g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}y - \frac{1}{2} + x = \frac{2x+y-1}{2}$$

$$g(1) = 2y - 1 + x = x+2y-1$$

であるから、

$$(2x+y-1)(x+2y-1) \leqq 0$$

これは、直線 $2x+y=1$ と 直線 $x+2y=1$ に挟まれた領域である。$x \geqq 0, y > 0$ を考慮すると、 $(y \geqq -2x+1 \text{ かつ } y \leqq -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2})$ または $(y \leqq -2x+1 \text{ かつ } y \geqq -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2})$ となる。

(イ) $\frac{1}{2} \leqq p \leqq 1$ に2つの解（重解を含む）をもつ場合

以下の3つの条件をすべて満たす必要がある。

1. 判別式 $D = 1 - 8xy \geqq 0 \iff y \leqq \frac{1}{8x}$
2. 軸の位置 $\frac{1}{2} \leqq \frac{1}{4y} \leqq 1 \iff \frac{1}{4} \leqq y \leqq \frac{1}{2}$
3. 区間の端点の符号 $g\left(\frac{1}{2}\right) \geqq 0 \text{ かつ } g(1) \geqq 0 \iff y \geqq -2x+1 \text{ かつ } y \geqq -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

(ア) と (イ) の和集合をとり、$y=0$ の場合も合わせて図示可能な不等式の形に整理すると、解法1で求めた領域と一致する。

解説

動線分の通過領域を求める典型問題である。線分の方程式に含まれるパラメータ $p$ が動くとき、固定した $x$ に対して $y$ のとりうる値を求める「順像法」か、方程式をパラメータについてのものとみなして実数解の存在条件に帰着させる「逆像法」のいずれかでアプローチする。本問では、順像法を用いる際に $t = 1/p$ と置換することで、扱いやすい2次関数の最大・最小問題に帰着でき、計算見通しが良くなる。領域の境界に双曲線（包絡線）の一部が現れることに注意して図示を行う。

答え

求める領域は、以下の不等式を満たす点 $(x, y)$ の集合である。

$0 \leqq x \leqq \frac{1}{4}$ のとき、$-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \leqq y \leqq -2x + 1$

$\frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{1}{3}$ のとき、$-2x + 1 \leqq y \leqq \frac{1}{8x}$

$\frac{1}{3} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ のとき、$-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \leqq y \leqq \frac{1}{8x}$

$\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1$ のとき、$-2x + 1 \leqq y \leqq -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

これを図示すると、直線 $y = -2x+1$、直線 $y = -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$、および双曲線 $xy = \frac{1}{8}$ の一部で囲まれた領域となる。境界線はすべて含む。