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数学2 領域問題 41 解説

方針・初手

前半は、直線 $L$ が $t$ の値によらず放物線の接線となる条件を求める。放物線の接線の方程式を文字でおき、直線 $L$ の方程式と恒等的に一致する条件を導くのが定石である。

後半は、パラメータ $t$ が指定された範囲を動くときの直線の通過領域を求め、その面積を計算する。通過領域を求める方法として、「$x$ を固定して $y$ の値域を調べる方法（1文字固定法）」と「直線の方程式を $t$ についての方程式とみなし、実数解の存在条件を考える方法（解の配置）」の2つがある。ここでは両方の解法を示す。

解法1

(i) 定数 $a, b, c$ の決定

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ 上の点 $(s, as^2 + bs + c)$ における接線の方程式を求める。 $y' = 2ax + b$ であるから、接線の方程式は

$$y - (as^2 + bs + c) = (2as + b)(x - s)$$

$$y = (2as + b)x - as^2 + c$$

となる。直線 $L: y = (2t - 3)x - t^2 + 2$ が、$t$ の値によらずこの接線と一致する。したがって、任意の $t$ に対してある実数 $s$ が存在し、以下の関係式が成り立つ。

$$\begin{cases} 2as + b = 2t - 3 \\ -as^2 + c = -t^2 + 2 \end{cases}$$

第1式より、直線の傾きがすべての $t$ について一致するためには $a \neq 0$ であり、$t$ の変化に対する傾きの変化率が等しいことから $2a = 2$、すなわち $a = 1$ が必要である。 $a = 1$ のとき、第1式は $2s + b = 2t - 3 \iff s = t - \frac{b + 3}{2}$ となる。これを第2式 $-s^2 + c = -t^2 + 2$ に代入すると、

$$-\left( t - \frac{b + 3}{2} \right)^2 + c = -t^2 + 2$$

$$-t^2 + (b + 3)t - \frac{(b + 3)^2}{4} + c = -t^2 + 2$$

この等式が $t$ についての恒等式となるため、各次数の係数を比較して、

$$\begin{cases} b + 3 = 0 \\ -\frac{(b + 3)^2}{4} + c = 2 \end{cases}$$

これを解いて $b = -3, c = 2$ を得る。以上より、$a = 1, b = -3, c = 2$ である。（このとき放物線は $y = x^2 - 3x + 2$ であり、$L$ は放物線の $x = t$ における接線となっている。）

(ii) 面積の計算

$t$ が $1 \leqq t \leqq 2$ の範囲を動くとき、直線 $L: y = -t^2 + 2xt - 3x + 2$ が通過する領域を求める。 $x$ を定数とみなし、$t$ の関数 $g(t) = -t^2 + 2xt - 3x + 2$ （$1 \leqq t \leqq 2$）の値域を考える。

$$g(t) = -(t - x)^2 + x^2 - 3x + 2$$

グラフは上に凸の放物線であり、軸は $t = x$ である。 $0 \leqq x \leqq 2$ の範囲において、$y = g(t)$ の最大値と最小値を求める。

・最大値について

$0 \leqq x < 1$ のとき、軸は区間 $1 \leqq t \leqq 2$ の左外にあるため、$g(t)$ は単調減少し $t = 1$ で最大となる。最大値：$g(1) = -x + 1$

$1 \leqq x \leqq 2$ のとき、軸は区間内にあるため $t = x$ で最大となる。最大値：$g(x) = x^2 - 3x + 2$

・最小値について

軸 $t = x$ と区間の中点 $t = \frac{3}{2}$ の位置関係で場合分けする。

$0 \leqq x \leqq \frac{3}{2}$ のとき、軸は中点以下にあるため $t = 2$ で最小となる。最小値：$g(2) = x - 2$

$\frac{3}{2} < x \leqq 2$ のとき、軸は中点より右にあるため $t = 1$ で最小となる。最小値：$g(1) = -x + 1$

よって、求める通過領域 $D$ は以下の不等式で表される。 $0 \leqq x \leqq 1$ のとき：$x - 2 \leqq y \leqq -x + 1$ $1 \leqq x \leqq \frac{3}{2}$ のとき：$x - 2 \leqq y \leqq x^2 - 3x + 2$ $\frac{3}{2} \leqq x \leqq 2$ のとき：$-x + 1 \leqq y \leqq x^2 - 3x + 2$

この領域の面積 $S$ を求める。

$$S = \int_{0}^{1} \{(-x + 1) - (x - 2)\} dx + \int_{1}^{\frac{3}{2}} \{(x^2 - 3x + 2) - (x - 2)\} dx + \int_{\frac{3}{2}}^{2} \{(x^2 - 3x + 2) - (-x + 1)\} dx$$

それぞれの定積分を計算する。

第1項：

$$\int_{0}^{1} (-2x + 3) dx = \left[ -x^2 + 3x \right]_{0}^{1} = 2$$

第2項：

$$\int_{1}^{\frac{3}{2}} (x^2 - 4x + 4) dx = \int_{1}^{\frac{3}{2}} (x - 2)^2 dx = \left[ \frac{(x - 2)^3}{3} \right]_{1}^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{8} - (-1) \right) = \frac{7}{24}$$

第3項：

$$\int_{\frac{3}{2}}^{2} (x^2 - 2x + 1) dx = \int_{\frac{3}{2}}^{2} (x - 1)^2 dx = \left[ \frac{(x - 1)^3}{3} \right]_{\frac{3}{2}}^{2} = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{8} \right) = \frac{7}{24}$$

したがって、面積 $S$ は

$$S = 2 + \frac{7}{24} + \frac{7}{24} = 2 + \frac{7}{12} = \frac{31}{12}$$

となる。

解法2

（面積の計算における、領域の求め方の別解）

直線 $L$ の方程式を $t$ について整理すると、

$$t^2 - 2xt + y + 3x - 2 = 0$$

となる。直線が通過する領域は、この $t$ についての2次方程式が $1 \leqq t \leqq 2$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつような $(x, y)$ の条件を求めることに等しい。 $f(t) = t^2 - 2xt + y + 3x - 2$ とおく。

$$f(t) = (t - x)^2 - x^2 + 3x + y - 2$$

放物線 $u = f(t)$ の軸は $t = x$ である。方程式 $f(t) = 0$ が $1 \leqq t \leqq 2$ の範囲に実数解をもつための条件は、以下のいずれかが成り立つことである。

(ア) $1 \leqq t \leqq 2$ の範囲に解を1つだけもつ場合

$f(1)$ と $f(2)$ の符号が異なる、または一方が $0$ となることであるから、

$$f(1)f(2) \leqq 0$$

$f(1) = 1 - 2x + y + 3x - 2 = x + y - 1$ $f(2) = 4 - 4x + y + 3x - 2 = -x + y + 2$ より、

$$(x + y - 1)(-x + y + 2) \leqq 0$$

これは、以下の2つの連立不等式のいずれかを満たす領域である。

$$\begin{cases} y \leqq -x + 1 \\ y \geqq x - 2 \end{cases} \quad \text{または} \quad \begin{cases} y \geqq -x + 1 \\ y \leqq x - 2 \end{cases}$$

(イ) $1 \leqq t \leqq 2$ の範囲に解を2つ（重解を含む）もつ場合

判別式を $D$ とすると、実数解をもつ条件 $\frac{D}{4} \geqq 0$ より、

$$\frac{D}{4} = x^2 - (y + 3x - 2) \geqq 0 \iff y \leqq x^2 - 3x + 2$$

かつ、軸が $1 \leqq t \leqq 2$ の範囲にあり、さらに端点の条件として $f(1) \geqq 0$ かつ $f(2) \geqq 0$ を満たすことである。

$$\begin{cases} y \leqq x^2 - 3x + 2 \\ 1 \leqq x \leqq 2 \\ y \geqq -x + 1 \\ y \geqq x - 2 \end{cases}$$

(ア), (イ) を合わせ、さらに $0 \leqq x \leqq 2$ の制限を加えることで、解法1と同じ領域の不等式が得られる。以降の面積計算は解法1と同様である。

解説

前半の恒等式の処理と後半の通過領域の図示および面積計算からなる、標準的な図形と方程式・微積分の融合問題である。前半は、接線の公式に当てはめて係数比較を行うことでスムーズに解決する。後半の通過領域の求め方は、「1文字固定法」による解法1と、「解の配置」による解法2の2通りのアプローチが典型的である。本問のように $y$ が $t$ の2次式で表される場合は、解法1のように $t$ を動かして $y$ の最大・最小を調べる方法が自然であり、視覚的にもわかりやすい。領域の境界が複数の関数からなるため、図示と積分の区間分けを正確に行うことが求められる。積分計算においては、$(x-\alpha)^n$ の形を作り出して積分公式を用いると計算ミスを防ぎやすい。