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数学3 無限級数問題 1 解説

方針・初手

直角三角形の中に正方形を内接させる操作を繰り返す問題である。作図の構造から、直角三角形 $A B_n C_n$ はすべて互いに相似になることに着目する。相似比を利用して隣り合う正方形の1辺の長さ $a_k$ と $a_{k-1}$ の関係式（漸化式）を導き、公比 $r$ を求める。面積の和は、求めた相似比から面積比を出し、無限等比級数の和の公式を利用して計算する。

解法1

(1)

図より、直角三角形 $A B_{k-1} C_{k-1}$ の内部に正方形 $B_{k-1} B_k C_k D_k$ が内接している。このとき、辺 $C_k B_k$ は底辺 $A B_{k-1}$ に垂直であり、$\angle A = \theta$ は共通であるから、$\triangle A B_k C_k \sim \triangle A B_{k-1} C_{k-1}$ である。 $k$ 番目の正方形の一辺の長さは $a_k$ であるから、$C_k B_k = B_k B_{k-1} = a_k$ である。

$\triangle A B_k C_k$ において、

$$A B_k = \frac{C_k B_k}{\tan \theta} = \frac{a_k}{\tan \theta}$$

と表せる。また、線分 $A B_{k-1}$ の長さは $A B_k$ と $B_k B_{k-1}$ の和であるから、

$$A B_{k-1} = A B_k + B_k B_{k-1} = \frac{a_k}{\tan \theta} + a_k = a_k \left( \frac{1}{\tan \theta} + 1 \right)$$

となる。

一方で、$\triangle A B_{k-1} C_{k-1}$ において、$C_{k-1} B_{k-1} = a_{k-1}$ であるから、

$$A B_{k-1} = \frac{C_{k-1} B_{k-1}}{\tan \theta} = \frac{a_{k-1}}{\tan \theta}$$

と表せる。

これら2つの $A B_{k-1}$ の式は等しいから、

$$a_k \left( \frac{1}{\tan \theta} + 1 \right) = \frac{a_{k-1}}{\tan \theta}$$

が成り立つ。両辺に $\tan \theta$ を掛けて整理すると、

$$a_k (1 + \tan \theta) = a_{k-1}$$

$$a_k = \frac{1}{1 + \tan \theta} a_{k-1}$$

となる。これを $a_k = r a_{k-1}$ と比較して、

$$r = \frac{1}{\tan \theta + 1}$$

を得る。

(2)

正方形の面積 $S_n$ は $S_n = a_n^2$ である。 (1)より数列 $\{a_n\}$ は、初項 $a_0 = 1$、公比 $r$ の等比数列であるから、一般項は

$$a_n = a_0 r^n = r^n$$

となる。したがって、面積 $S_n$ は

$$S_n = (r^n)^2 = r^{2n}$$

と表せる。

求める無限級数の和 $S_1 + S_2 + S_3 + \cdots$ は、初項 $S_1 = r^2$、公比 $r^2$ の無限等比級数である。条件 $0 < r < 1$ より $0 < r^2 < 1$ となり、この無限等比級数は収束する。その和を $S$ とすると、

$$S = \frac{r^2}{1 - r^2}$$

となる。これに (1) で求めた $r = \frac{1}{\tan \theta + 1}$ を代入すると、

$$S = \frac{\left( \frac{1}{\tan \theta + 1} \right)^2}{1 - \left( \frac{1}{\tan \theta + 1} \right)^2}$$

分母と分子に $(\tan \theta + 1)^2$ を掛けて整理する。

$$S = \frac{1}{(\tan \theta + 1)^2 - 1}$$

$$S = \frac{1}{\tan^2 \theta + 2\tan \theta + 1 - 1}$$

$$S = \frac{1}{\tan^2 \theta + 2\tan \theta}$$

$$S = \frac{1}{\tan \theta (\tan \theta + 2)}$$

となる。

解説

図形の中に次々と相似な図形を作っていく、無限等比級数の典型問題である。隣り合う正方形の1辺の長さの比（相似比）を求めることが最大のポイントとなる。本解法のように、特定の線分（ここでは $A B_{k-1}$）の長さを2通りに表して方程式を立てるアプローチは、図形と漸化式が絡む問題で非常に有効である。無限級数の和を計算する際、長さの公比が $r$ である図形の面積の公比は $r^2$ になることに注意して計算を進める。