数学3 無限級数 問題 7 解説

注意

画像の一部で、シグマの添字が「$k=0$」のように見えますが、一般項が $n$ の式であるため、文脈から「$n=0$」の誤植または印字の潰れと考えられます。以下は「$n=0$」として解釈した場合の解答解説です。

方針・初手

一般項に含まれる $\cos n\pi$ の値が、$n$ の値によってどのように変化するかを考える。 整数 $n$ に対して $\cos n\pi = (-1)^n$ となることを利用し、与えられた式を無限等比級数の形に帰着させる。

解法1

整数 $n$ に対して、$\cos n\pi = (-1)^n$ が成り立つ。 これを与式に代入すると、次のように変形できる。

$$4 \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n \cos n\pi = 4 \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n (-1)^n$$

指数法則を用いてまとめると、次のようになる。

$$4 \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n$$

ここで、$\sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n$ は、初項が $\left(-\frac{1}{3}\right)^0 = 1$、公比が $-\frac{1}{3}$ の無限等比級数である。 公比について $\left| -\frac{1}{3} \right| < 1$ であるから、この無限等比級数は収束し、その和は次のように計算できる。

$$\frac{1}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$$

したがって、求める値はこれに $4$ を掛けたものになる。

$$4 \times \frac{3}{4} = 3$$

解説

三角関数の性質を用いて、符号が交互に入れ替わる交代級数（無限等比級数）に変換する基本的な問題である。 $\cos n\pi = (-1)^n$ や $\sin \frac{n\pi}{2}$ のような、整数 $n$ に依存して値が周期的に変化する三角関数の扱いは頻出であるため、正確に置き換えられるようにしておきたい。 また、無限等比級数の和の公式を適用する際は、公比の絶対値が $1$ より小さいという収束条件を満たしていることを意識することが重要である。

答え

$3$