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数学3 無限級数問題 34 解説

方針・初手

与えられた数列の初項 $x_1$ と第2項 $x_2$ の値から、まずは未知数である $r$ と $\theta$ の値を決定する。その後、求めた $r, \theta$ を用いて無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ の和を計算する。和の計算には、複素数を用いて無限等比級数に帰着させる方法、三角関数の加法定理を用いて連立方程式を立てる方法、具体的に項を書き下して数列の周期性を利用する方法などが考えられる。

解法1

$r$ と $\theta$ の決定

与えられた条件より、以下の2式が成り立つ。

$$\begin{aligned} x_1 &= r \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{4} \quad \cdots \text{(1)} \\ x_2 &= r^2 \sin 2\theta = 2r^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{8} \quad \cdots \text{(2)} \end{aligned}$$

(1) を (2) に代入すると、

$$2r \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}$$

$$r \cos \theta = \frac{1}{4} \quad \cdots \text{(3)}$$

(1) と (3) の両辺をそれぞれ2乗して加えると、

$$(r \sin \theta)^2 + (r \cos \theta)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2$$

$$r^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = \frac{3}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$$

$$r^2 = \frac{1}{4}$$

条件 $r > 0$ より、$r = \frac{1}{2}$ である。これを (1), (3) に代入すると、

$$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \theta = \frac{1}{2}$$

条件 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{3}$ である。

無限級数の計算（複素数の利用）

複素数 $z$ を $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ とおく。$r = \frac{1}{2}, \theta = \frac{\pi}{3}$ より、

$$z = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i$$

ド・モアブルの定理より、$z^n = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)$ であるから、$x_n = r^n \sin n\theta$ は複素数 $z^n$ の虚部に等しい。すなわち、

$$x_n = \text{Im}(z^n)$$

ここで、$|z| = r = \frac{1}{2} < 1$ であるから、無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} z^n$ は収束し、その和は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} z^n &= \frac{z}{1 - z} \\ &= \frac{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i}{1 - \left( \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i \right)} \\ &= \frac{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i}{\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} i} \\ &= \frac{1 + \sqrt{3}i}{3 - \sqrt{3}i} \end{aligned}$$

分母の実数化を行う。

$$\begin{aligned} \frac{1 + \sqrt{3}i}{3 - \sqrt{3}i} &= \frac{(1 + \sqrt{3}i)(3 + \sqrt{3}i)}{(3 - \sqrt{3}i)(3 + \sqrt{3}i)} \\ &= \frac{3 + \sqrt{3}i + 3\sqrt{3}i + 3i^2}{3^2 + (\sqrt{3})^2} \\ &= \frac{3 + 4\sqrt{3}i - 3}{9 + 3} \\ &= \frac{4\sqrt{3}i}{12} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3} i \end{aligned}$$

求める無限級数の和は、この複素数の虚部であるから、

$$\sum_{n=1}^{\infty} x_n = \text{Im} \left( \sum_{n=1}^{\infty} z^n \right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

解法2

$r$ と $\theta$ の決定

解法1と同様の計算により、$r = \frac{1}{2}$ および $\theta = \frac{\pi}{3}$ を得る。これより、$r \cos \theta = \frac{1}{4}, \ r \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{4}$ である。

無限級数の計算（加法定理による連立方程式）

求める和を $S$、これと対になる余弦の無限級数を $C$ とおく。

$$\begin{aligned} S &= \sum_{n=1}^{\infty} r^n \sin n\theta \\ C &= \sum_{n=1}^{\infty} r^n \cos n\theta \end{aligned}$$

$|r| = \frac{1}{2} < 1$ であるため、これらの無限級数はともに絶対収束する。$S$ および $C$ について、項を1つずらして加法定理を適用する。

$$\begin{aligned} S &= r \sin \theta + \sum_{n=1}^{\infty} r^{n+1} \sin (n+1)\theta \\ &= r \sin \theta + r \sum_{n=1}^{\infty} r^n ( \sin n\theta \cos \theta + \cos n\theta \sin \theta ) \\ &= r \sin \theta + r \cos \theta \sum_{n=1}^{\infty} r^n \sin n\theta + r \sin \theta \sum_{n=1}^{\infty} r^n \cos n\theta \\ &= r \sin \theta + (r \cos \theta)S + (r \sin \theta)C \quad \cdots \text{(A)} \end{aligned}$$

同様に $C$ についても計算する。

$$\begin{aligned} C &= r \cos \theta + \sum_{n=1}^{\infty} r^{n+1} \cos (n+1)\theta \\ &= r \cos \theta + r \sum_{n=1}^{\infty} r^n ( \cos n\theta \cos \theta - \sin n\theta \sin \theta ) \\ &= r \cos \theta + r \cos \theta \sum_{n=1}^{\infty} r^n \cos n\theta - r \sin \theta \sum_{n=1}^{\infty} r^n \sin n\theta \\ &= r \cos \theta + (r \cos \theta)C - (r \sin \theta)S \quad \cdots \text{(B)} \end{aligned}$$

$r \cos \theta = \frac{1}{4}, \ r \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{4}$ を (A), (B) に代入する。

(B) より、

$$\begin{aligned} C &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4}C - \frac{\sqrt{3}}{4}S \\ \frac{3}{4}C &= \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}S \\ C &= \frac{1 - \sqrt{3}S}{3} \quad \cdots \text{(C)} \end{aligned}$$

(A) に値を代入して整理する。

$$\begin{aligned} S &= \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4}S + \frac{\sqrt{3}}{4}C \\ \frac{3}{4}S &= \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}C \end{aligned}$$

これに (C) を代入する。

$$\begin{aligned} \frac{3}{4}S &= \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{1 - \sqrt{3}S}{3} \right) \\ \frac{3}{4}S &= \frac{3\sqrt{3}}{12} + \frac{\sqrt{3} - 3S}{12} \\ \frac{9}{12}S &= \frac{4\sqrt{3}}{12} - \frac{3}{12}S \\ \frac{12}{12}S &= \frac{4\sqrt{3}}{12} \\ S &= \frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned}$$

したがって、求める値は $\frac{\sqrt{3}}{3}$ である。

解法3

$r$ と $\theta$ の決定

解法1と同様の計算により、$r = \frac{1}{2}$ および $\theta = \frac{\pi}{3}$ を得る。これより、数列の一般項は

$$x_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \sin \frac{n\pi}{3}$$

となる。

無限級数の計算（数列の周期性の利用）

$\sin \frac{n\pi}{3}$ の値は、$n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots$ に対して $\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}, \dots$ となり、周期 $6$ で同じ値の組を繰り返す。そこで、自然数 $k$ に対して、第 $6k-5$ 項から第 $6k$ 項までの $6$ 項分の和を $S_k$ とおくと、

$$\begin{aligned} S_k &= \sum_{m=1}^{6} x_{6(k-1)+m} \\ &= \sum_{m=1}^{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{6(k-1)+m} \sin \frac{\{6(k-1)+m\}\pi}{3} \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^{6(k-1)} \sum_{m=1}^{6} \left(\frac{1}{2}\right)^m \sin \left( 2(k-1)\pi + \frac{m\pi}{3} \right) \\ &= \left(\frac{1}{64}\right)^{k-1} \sum_{m=1}^{6} \left(\frac{1}{2}\right)^m \sin \frac{m\pi}{3} \end{aligned}$$

ここで、$\sum_{m=1}^{6} \left(\frac{1}{2}\right)^m \sin \frac{m\pi}{3}$ の部分を計算する。

$$\begin{aligned} \sum_{m=1}^{6} \left(\frac{1}{2}\right)^m \sin \frac{m\pi}{3} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{8} \cdot 0 + \frac{1}{16} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{32} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{64} \cdot 0 \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16} \right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{16 + 8 - 2 - 1}{16} \\ &= \frac{21\sqrt{3}}{64} \end{aligned}$$

したがって、$S_k = \frac{21\sqrt{3}}{64} \left(\frac{1}{64}\right)^{k-1}$ となり、数列 $\{S_k\}$ は初項 $\frac{21\sqrt{3}}{64}$、公比 $\frac{1}{64}$ の等比数列である。元の無限級数の部分和 $T_N = \sum_{n=1}^{N} x_n$ について、$N \to \infty$ としたときの極限を考える。$N$ を $6K+j$ ($0 \le j \le 5$) と表すとき、$N \to \infty$ のとき $K \to \infty$ であり、また $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$ であるため、$T_N$ の極限は $S_k$ の無限級数の和に等しくなる。

$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} x_n &= \sum_{k=1}^{\infty} S_k \\ &= \frac{\frac{21\sqrt{3}}{64}}{1 - \frac{1}{64}} \\ &= \frac{\frac{21\sqrt{3}}{64}}{\frac{63}{64}} \\ &= \frac{21\sqrt{3}}{63} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned}$$

解説

この問題では、まず連立方程式から $r$ と $\theta$ の値を正しく導出することが第一歩となる。 $r^n \sin n\theta$ あるいは $r^n \cos n\theta$ の形を含む無限級数の和を求める場合、解法1のように複素数平面（ド・モアブルの定理）を利用して無限等比級数に持ち込む方法が最も汎用性が高く、計算も簡潔に済むことが多い。解法2のように、三角関数の加法定理を用いて漸化式を作り、実数の範囲で連立方程式として解く手法も非常に強力である。解法3は、$\theta$ が $\frac{\pi}{3}$ という具体的な有名角になったことから、正弦の値が周期的に変化することを利用して群数列として処理する解法であり、計算の確実性が高い。