数学3 無限級数 問題 33 解説

方針・初手

数列 $\alpha^n + \beta^n$ が収束するための条件を、$\alpha, \beta$ の値の範囲として求めることが第一歩です。$\alpha^n$ や $\beta^n$ は等比数列の形をしているため、公比の絶対値 $|\alpha|, |\beta|$ の大きさに着目して場合分けを行います。 条件が求まったら、「2次方程式 $x^2+px+q=0$ の解が指定された範囲に存在する」という解の配置問題に帰着させ、$p, q$ の満たすべき不等式を導出します。

解法1

2次方程式 $x^2 + px + q = 0$ の相異なる2実数解が $\alpha, \beta$ であるから、$\alpha \neq \beta$ である。 対称性より、あらかじめ $|\alpha| \ge |\beta|$ と仮定しても一般性を失わない。

数列 $a_n = \alpha^n + \beta^n$ が収束する条件を調べる。

(i) $|\alpha| > 1$ のとき $n \to \infty$ の極限を考えるため、絶対値の大きい $\alpha^n$ でくくると、

$$a_n = \alpha^n \left\{ 1 + \left( \frac{\beta}{\alpha} \right)^n \right\}$$

となる。仮定より $\left| \frac{\beta}{\alpha} \right| \le 1$ である。 もし $\left| \frac{\beta}{\alpha} \right| < 1$ であれば $\left( \frac{\beta}{\alpha} \right)^n \to 0$ となり、$a_n$ の挙動は $\alpha^n$ と等しくなるが、$|\alpha| > 1$ より $\alpha^n$ は発散または振動するため、$a_n$ は収束しない。 もし $\left| \frac{\beta}{\alpha} \right| = 1$ であれば、$\alpha \neq \beta$ より $\beta = -\alpha$ となる。このとき $a_n = \alpha^n + (-\alpha)^n$ であり、$n$ が奇数のとき $0$、$n$ が偶数のとき $2\alpha^n$ となる。$\alpha^n$ が発散・振動するため、全体としても収束しない。

(ii) $|\alpha| = 1$ のとき $\alpha = 1$ または $\alpha = -1$ である。 $\alpha = 1$ のとき、$\alpha \neq \beta$ より $\beta \neq 1$ であるから、仮定より $-1 \le \beta < 1$ となる。 $a_n = 1 + \beta^n$ が収束するには、等比数列 $\beta^n$ が収束すればよく、その条件は $-1 < \beta \le 1$ である。 したがって、$-1 < \beta < 1$ のとき $a_n$ は $1$ に収束する。（$\beta = -1$ のときは振動する）

$\alpha = -1$ のとき、仮定より $-1 \le \beta < 1$ または $\beta = 1$ である。 $a_n = (-1)^n + \beta^n$ となり、$(-1)^n$ が振動するため、$\beta$ がどのような値であっても $a_n$ は収束しない。

(iii) $|\alpha| < 1$ のとき 仮定より $|\beta| \le |\alpha| < 1$ である。 このとき、$\alpha^n \to 0$ かつ $\beta^n \to 0$ となるため、$a_n \to 0$ となり収束する。

(i) 〜 (iii) をまとめると、$a_n$ が収束するための条件は、「$-1 < \alpha < 1$ かつ $-1 < \beta < 1$」または「一方が $1$ で、他方が $-1$ より大きく $1$ より小さい」ことである。 言い換えると、$\alpha, \beta$ はともに区間 $(-1, 1]$ 内の相異なる実数であるということになる。

したがって、求める $(p, q)$ の条件は、2次方程式 $x^2 + px + q = 0$ が $-1 < x \le 1$ の範囲に異なる2つの実数解をもつことである。 $f(x) = x^2 + px + q$ とおく。$y = f(x)$ のグラフは下に凸の放物線であり、軸は直線 $x = -\frac{p}{2}$ である。 $f(x) = 0$ が $-1 < x \le 1$ に異なる2つの実数解をもつための条件は、以下の4つを同時に満たすことである。

1. 判別式 $D > 0$
2. 軸の位置が $-1 < x < 1$ の範囲にある
3. $f(-1) > 0$
4. $f(1) \ge 0$

それぞれを $p, q$ の式で表す。

1. $p^2 - 4q > 0 \iff q < \frac{p^2}{4}$
2. $-1 < -\frac{p}{2} < 1 \iff -2 < p < 2$
3. $1 - p + q > 0 \iff q > p - 1$
4. $1 + p + q \ge 0 \iff q \ge -p - 1$

これらが $(p, q)$ の満たすべき条件式である。

解説

極限 $\lim_{n \to \infty} (\alpha^n + \beta^n)$ の扱いは、絶対値が最大となる項でくくり出すのが定石です。等比数列 $r^n$ が収束する条件が $-1 < r \le 1$ であることを正確に用いて、$\alpha, \beta$ の満たすべき範囲を特定します。

条件を絞り込んだ後は、標準的な2次方程式の解の配置問題となります。ここで注意すべきは端点の扱いです。解が $-1 < x \le 1$ に存在することから、$x=1$ は解になり得ますが、$x=-1$ は解になり得ません。そのため、境界の条件において $f(1) \ge 0$ には等号が入り、$f(-1) > 0$ には等号が入らないという違いが生じます。

答え

点 $(p, q)$ の存在範囲は、以下の連立不等式が表す領域である。

$$\begin{cases} q < \frac{p^2}{4} \\ -2 < p < 2 \\ q > p - 1 \\ q \ge -p - 1 \end{cases}$$

これを $pq$ 平面上に図示すると、放物線 $q = \frac{p^2}{4}$ の下側であり、かつ2直線 $q = p - 1$ と $q = -p - 1$ の上側となる。

なお、放物線 $q = \frac{p^2}{4}$ と直線 $q = p - 1$ は点 $(2, 1)$ で接し、放物線と直線 $q = -p - 1$ は点 $(-2, 1)$ で接する。また、2直線は点 $(0, -1)$ で交わる。

境界線については、線分 $q = -p - 1$ （ただし $-2 < p < 0$）のみを含み、その他の境界線および各端点は含まない。