数学3 極限 問題 4 解説

方針・初手

被積分関数 $f(4nx(1-x))$ が $0$ にならないような $x$ の範囲を求めることから始めます。関数 $f(x)$ の定義に従い、$4nx(1-x) \leqq 1$ となる区間で場合分けをして積分を計算します。その後、計算した積分値に $n$ を掛け、$n \to \infty$ の極限を計算します。極限計算では分子の有理化が重要になります。

解法1

与えられた積分を $I_n = \int_0^1 f(4nx(1-x)) \,dx$ とおく。

$n \to \infty$ の極限を考えるため、あらかじめ $n \geqq 1$ の自然数としてよい。$x$ が $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲を動くとき、$4nx(1-x) \geqq 0$ は常に成り立つ。

関数 $f$ の定義より、$4nx(1-x) \leqq 1$ のとき $f(4nx(1-x)) = 4nx(1-x)$ であり、$4nx(1-x) > 1$ のときは $0$ となる。

不等式 $4nx(1-x) \leqq 1$ を整理すると、次のようになる。

$$4nx^2 - 4nx + 1 \geqq 0$$

方程式 $4nx^2 - 4nx + 1 = 0$ の解は、解の公式より以下のようになる。

$$x = \frac{2n \pm \sqrt{4n^2 - 4n}}{4n} = \frac{n \pm \sqrt{n^2 - n}}{2n}$$

ここで、$\alpha_n = \frac{n - \sqrt{n^2 - n}}{2n}$、$\beta_n = \frac{n + \sqrt{n^2 - n}}{2n}$ とおく。$n \geqq 1$ のとき $0 \leqq \alpha_n \leqq \frac{1}{2} \leqq \beta_n \leqq 1$ が成り立つ。

積分区間を分割すると、$I_n$ は次のように計算できる。

$$I_n = \int_0^{\alpha_n} 4nx(1-x) \,dx + \int_{\alpha_n}^{\beta_n} 0 \,dx + \int_{\beta_n}^1 4nx(1-x) \,dx$$

関数 $x(1-x)$ は $x = \frac{1}{2}$ について対称であり、積分区間 $[0, \alpha_n]$ と $[\beta_n, 1]$ も $x = \frac{1}{2}$ について対称であるため、両端の積分値は等しい。

$$I_n = 2 \int_0^{\alpha_n} 4n(x - x^2) \,dx$$

これを計算する。

$$I_n = 8n \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^{\alpha_n} = 8n \left( \frac{1}{2}\alpha_n^2 - \frac{1}{3}\alpha_n^3 \right) = 4n\alpha_n^2 - \frac{8n}{3}\alpha_n^3$$

求める極限は $\lim_{n \to \infty} n I_n$ である。ここで、$\alpha_n$ を有利化して変形する。

$$\alpha_n = \frac{n - \sqrt{n^2 - n}}{2n} = \frac{n^2 - (n^2 - n)}{2n(n + \sqrt{n^2 - n})} = \frac{n}{2n(n + \sqrt{n^2 - n})} = \frac{1}{2(n + \sqrt{n^2 - n})}$$

この結果を用いると、$n \alpha_n$ の極限が求まる。

$$\lim_{n \to \infty} n \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2(n + \sqrt{n^2 - n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2(1 + \sqrt{1 - \frac{1}{n}})} = \frac{1}{4}$$

また、$\alpha_n = \frac{n \alpha_n}{n}$ より、$\lim_{n \to \infty} \alpha_n = 0$ である。

以上の結果を $\lim_{n \to \infty} n I_n$ の式に代入する。

$$\lim_{n \to \infty} n I_n = \lim_{n \to \infty} n \left( 4n\alpha_n^2 - \frac{8n}{3}\alpha_n^3 \right) = \lim_{n \to \infty} \left( 4(n\alpha_n)^2 - \frac{8}{3}\alpha_n(n\alpha_n)^2 \right)$$

$$\lim_{n \to \infty} n I_n = 4 \left(\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{8}{3} \cdot 0 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

解法2

対称性を活かして積分を評価する方法を示す。積分を $I_n$ とおき、$n \geqq 1$ とする。

$x - \frac{1}{2} = t$ と置換する。$dx = dt$ であり、積分区間は $x: 0 \to 1$ が $t: -\frac{1}{2} \to \frac{1}{2}$ となる。

被積分関数の中身は $4nx(1-x) = 4n \left(t + \frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2} - t\right) = n(1 - 4t^2)$ となる。

$$I_n = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} f(n(1 - 4t^2)) \,dt$$

被積分関数は $t$ の偶関数であるため、区間を半分にして $2$ 倍する。

$$I_n = 2 \int_0^{\frac{1}{2}} f(n(1 - 4t^2)) \,dt$$

$f$ の定義より、$n(1 - 4t^2) \leqq 1$ すなわち $t^2 \geqq \frac{n-1}{4n}$ の範囲で値を持つ。$t \geqq 0$ における条件は $t \geqq \frac{\sqrt{n-1}}{2\sqrt{n}}$ である。

$\gamma_n = \frac{\sqrt{n-1}}{2\sqrt{n}}$ とおくと、積分は次のように計算できる。

$$I_n = 2 \int_{\gamma_n}^{\frac{1}{2}} n(1 - 4t^2) \,dt = 2n \left[ t - \frac{4}{3}t^3 \right]_{\gamma_n}^{\frac{1}{2}}$$

$$I_n = 2n \left\{ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) - \left( \gamma_n - \frac{4}{3}\gamma_n^3 \right) \right\} = 2n \left( \frac{1}{3} - \gamma_n + \frac{4}{3}\gamma_n^3 \right)$$

かっこ内を通分して計算を進める。

$$\frac{1}{3} - \gamma_n + \frac{4}{3}\gamma_n^3 = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{n-1}}{2\sqrt{n}} + \frac{4}{3} \frac{(n-1)\sqrt{n-1}}{8n\sqrt{n}}$$

$$= \frac{2n\sqrt{n} - 3n\sqrt{n-1} + (n-1)\sqrt{n-1}}{6n\sqrt{n}} = \frac{2n\sqrt{n} - (2n+1)\sqrt{n-1}}{6n\sqrt{n}}$$

したがって、求める式 $n I_n$ は以下のようになる。

$$n I_n = 2n^2 \frac{2n\sqrt{n} - (2n+1)\sqrt{n-1}}{6n\sqrt{n}} = \frac{2n^2 - (2n+1)\sqrt{n^2-n}}{3}$$

この極限を求めるため、分子を有理化する。

$$2n^2 - (2n+1)\sqrt{n^2-n} = \frac{4n^4 - (2n+1)^2(n^2-n)}{2n^2 + (2n+1)\sqrt{n^2-n}}$$

分子を展開して整理する。

$$4n^4 - (4n^2 + 4n + 1)(n^2 - n) = 4n^4 - (4n^4 - 3n^2 - n) = 3n^2 + n$$

極限を計算する。分母と分子を $n^2$ で割る。

$$\lim_{n \to \infty} n I_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n}{3(2n^2 + (2n+1)\sqrt{n^2-n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{3 \left( 2 + \left(2 + \frac{1}{n}\right)\sqrt{1 - \frac{1}{n}} \right)}$$

$$\lim_{n \to \infty} n I_n = \frac{3}{3(2 + 2 \cdot 1)} = \frac{1}{4}$$

解説

関数が定数と一次式の組み合わせで定義されているため、条件を満たす積分区間を正しく特定することが最大のポイントです。被積分関数の対称性に気が付くと計算量を抑えることができます。

極限計算の過程で「$\infty - \infty$」の不定形が現れますが、ここは極限の定石通り分子の有理化を行って解消します。解法1のように有理化を早い段階（積分区間の端点 $\alpha_n$ に対する操作）で済ませておくと、後の多項式計算がスムーズになり、計算ミスを防ぎやすくなります。

答え

$$\frac{1}{4}$$