数学3 極限 問題 5 解説

方針・初手

与えられた極限の式は、$n \to \infty$ としたとき $(\infty - \infty) \times \infty$ の不定形となる。このような無理式の差を含む極限では、分子の有理化（共役な無理式の和を分母・分子にかけること）を行って不定形を解消するのが定石である。有理化を行った後、分母の最高次の項（この場合は $n$ ）で分母と分子を割ることで極限値を求める。

解法1

求める極限を式変形すると、以下のようになる。

$$\begin{aligned} & \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+3} - \sqrt{n^2+1})(3n+1) \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2+3} - \sqrt{n^2+1})(\sqrt{n^2+3} + \sqrt{n^2+1})}{\sqrt{n^2+3} + \sqrt{n^2+1}} (3n+1) \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+3) - (n^2+1)}{\sqrt{n^2+3} + \sqrt{n^2+1}} (3n+1) \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{2(3n+1)}{\sqrt{n^2+3} + \sqrt{n^2+1}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{6n+2}{\sqrt{n^2+3} + \sqrt{n^2+1}} \end{aligned}$$

ここで、$n \to \infty$ より $n > 0$ と考えてよく、$n = \sqrt{n^2}$ であるから、分母・分子を $n$ で割ると次のように変形できる。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n}}{\sqrt{1 + \frac{3}{n^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}} \end{aligned}$$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{2}{n} \to 0$、$\frac{3}{n^2} \to 0$、$\frac{1}{n^2} \to 0$ となるので、極限値は以下の通り計算できる。

$$\begin{aligned} \frac{6 + 0}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 + 0}} = \frac{6}{1 + 1} = 3 \end{aligned}$$

解説

数列の極限において $\infty - \infty$ の不定形が現れた場合の典型的な処理を問う問題である。ルートの差の形を見たら、$\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}$ のように変形して分子を有理化することで、和の形 $\sqrt{A} + \sqrt{B}$ が分母に現れ、不定形を回避できる。計算ミスを防ぐため、有理化の後の式展開や、分母分子を $n$ で割る操作（根号の中に入れるときは $n^2$ で割る）を丁寧に行うことが重要である。

答え

3