トップ› 基礎問題› 数学3› 極限› 極限› 問題 44

数学3 極限問題 44 解説

方針・初手

(1) 三角関数の積の積分であるため、積和の公式を用いて和や差の形に直し、被積分関数を変形してから積分を実行する。 (2) $x \to \pi$ の極限を考えやすくするため、$t = x-\pi$ と置換し、$t \to 0$ の極限に帰着させる。分母が $0$ に収束することから極限が存在するための必要条件として分子の収束先を絞る。 (3) (2) で求めた $a$ の条件を用いて分子の $\sin\{a(1-\theta)\pi\}$ を加法定理などで変形し、基本的な極限公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用する。 (4) 問題文で与えられている不等式に (1) の結果から得られた $\sin$ の中身の式を代入し、はさみうちの原理を用いて極限を求める。

解法1

(1)

積和の公式 $\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} \{ \cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta) \}$ を用いる。

$$I_a(\theta) = \int_0^{(1-\theta)\pi} \sin ax \sin x \, dx$$

$$= -\frac{1}{2} \int_0^{(1-\theta)\pi} \{ \cos(a+1)x - \cos(a-1)x \} \, dx$$

$a > 1$ より $a+1 \neq 0, a-1 \neq 0$ であるから、

$$I_a(\theta) = -\frac{1}{2} \left[ \frac{\sin(a+1)x}{a+1} - \frac{\sin(a-1)x}{a-1} \right]_0^{(1-\theta)\pi}$$

$$= \frac{1}{2} \left\{ \frac{\sin(a-1)(1-\theta)\pi}{a-1} - \frac{\sin(a+1)(1-\theta)\pi}{a+1} \right\}$$

(2)

$t = x - \pi$ とおくと、$x \to \pi$ のとき $t \to 0$ である。

$$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin ax}{\sin x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin a(t+\pi)}{\sin(t+\pi)} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(at+a\pi)}{-\sin t}$$

ここで $\lim_{t \to 0} (-\sin t) = 0$ であるため、与えられた極限が有限の値に収束するためには、分子についても $\lim_{t \to 0} \sin(at+a\pi) = 0$ となることが必要である。

$$\lim_{t \to 0} \sin(at+a\pi) = \sin a\pi = 0$$

よって、$a$ は整数である。$a > 1$ より、$a$ は $2$ 以上の整数である。このとき、加法定理より以下が成り立つ。

$$\sin(at+a\pi) = \sin at \cos a\pi + \cos at \sin a\pi = (\sin at) \cdot (-1)^a$$

ゆえに極限は、

$$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(at+a\pi)}{-\sin t} = \lim_{t \to 0} \left\{ \frac{\sin at}{at} \cdot \frac{t}{\sin t} \cdot a \cdot (-1)^{a-1} \right\} = 1 \cdot 1 \cdot a \cdot (-1)^{a-1} = a(-1)^{a-1}$$

これが正の値に収束するので、$a(-1)^{a-1} > 0$ である。 $a > 1$ より $a > 0$ だから $(-1)^{a-1} > 0$ となり、$(-1)^{a-1} = 1$ が導かれる。したがって、$a-1$ は偶数、すなわち $a$ は奇数である。以上より、求める条件は「$a$ は $3$ 以上の奇数」である。

(3)

(2) より $a$ は奇数であるから、$a$ は整数であり、$\sin a\pi = 0, \cos a\pi = -1$ である。分子は次のように変形できる。

$$\sin \{a(1-\theta)\pi\} = \sin(a\pi - a\pi\theta) = \sin a\pi \cos a\pi\theta - \cos a\pi \sin a\pi\theta = \sin a\pi\theta$$

よって、極限は次のように計算できる。

$$\lim_{\theta \to +0} \frac{\sin \{a(1-\theta)\pi\}}{\theta} = \lim_{\theta \to +0} \frac{\sin a\pi\theta}{\theta} = \lim_{\theta \to +0} \left( \frac{\sin a\pi\theta}{a\pi\theta} \cdot a\pi \right) = 1 \cdot a\pi = a\pi$$

(4)

(2) の結果から、$a$ は $3$ 以上の奇数である。よって $a-1, a+1$ はともに正の偶数である。

$$\sin(a-1)(1-\theta)\pi = \sin \{ (a-1)\pi - (a-1)\pi\theta \} = \sin(a-1)\pi \cos(a-1)\pi\theta - \cos(a-1)\pi \sin(a-1)\pi\theta$$

$a-1$ が偶数であるから $\sin(a-1)\pi = 0, \cos(a-1)\pi = 1$ であり、

$$\sin(a-1)(1-\theta)\pi = -\sin(a-1)\pi\theta$$

同様に $a+1$ も偶数であるから $\sin(a+1)\pi = 0, \cos(a+1)\pi = 1$ となり、

$$\sin(a+1)(1-\theta)\pi = -\sin(a+1)\pi\theta$$

したがって (1) の結果は以下のように書き換えられる。

$$I_a(\theta) = \frac{1}{2} \left\{ \frac{-\sin(a-1)\pi\theta}{a-1} - \frac{-\sin(a+1)\pi\theta}{a+1} \right\} = \frac{1}{2} \left\{ \frac{\sin(a+1)\pi\theta}{a+1} - \frac{\sin(a-1)\pi\theta}{a-1} \right\}$$

与えられた不等式 $x - \frac{1}{6}x^3 \leqq \sin x \leqq x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 \ (x \geqq 0)$ を用いる。 $\theta \to +0$ を考えるので $\theta > 0$ としてよく、$(a+1)\pi\theta > 0, (a-1)\pi\theta > 0$ であるからこれらに不等式を適用できる。

$$\frac{(a+1)\pi\theta - \frac{1}{6}(a+1)^3\pi^3\theta^3}{a+1} \leqq \frac{\sin(a+1)\pi\theta}{a+1} \leqq \frac{(a+1)\pi\theta - \frac{1}{6}(a+1)^3\pi^3\theta^3 + \frac{1}{120}(a+1)^5\pi^5\theta^5}{a+1}$$

整理すると、

$$\pi\theta - \frac{1}{6}(a+1)^2\pi^3\theta^3 \leqq \frac{\sin(a+1)\pi\theta}{a+1} \leqq \pi\theta - \frac{1}{6}(a+1)^2\pi^3\theta^3 + \frac{1}{120}(a+1)^4\pi^5\theta^5$$

同様に、

$$\pi\theta - \frac{1}{6}(a-1)^2\pi^3\theta^3 \leqq \frac{\sin(a-1)\pi\theta}{a-1} \leqq \pi\theta - \frac{1}{6}(a-1)^2\pi^3\theta^3 + \frac{1}{120}(a-1)^4\pi^5\theta^5$$

これらの不等式を辺々引く。

$$\left( \pi\theta - \frac{1}{6}(a+1)^2\pi^3\theta^3 \right) - \left( \pi\theta - \frac{1}{6}(a-1)^2\pi^3\theta^3 + \frac{1}{120}(a-1)^4\pi^5\theta^5 \right)$$

$$\leqq \frac{\sin(a+1)\pi\theta}{a+1} - \frac{\sin(a-1)\pi\theta}{a-1}$$

$$\leqq \left( \pi\theta - \frac{1}{6}(a+1)^2\pi^3\theta^3 + \frac{1}{120}(a+1)^4\pi^5\theta^5 \right) - \left( \pi\theta - \frac{1}{6}(a-1)^2\pi^3\theta^3 \right)$$

ここで、中央の式は $2I_a(\theta)$ に等しい。両端の式を整理すると、

$$-\frac{1}{6}\pi^3\theta^3 \{ (a+1)^2 - (a-1)^2 \} - \frac{1}{120}(a-1)^4\pi^5\theta^5 \leqq 2I_a(\theta) \leqq -\frac{1}{6}\pi^3\theta^3 \{ (a+1)^2 - (a-1)^2 \} + \frac{1}{120}(a+1)^4\pi^5\theta^5$$

$$-\frac{2}{3}a\pi^3\theta^3 - \frac{1}{120}(a-1)^4\pi^5\theta^5 \leqq 2I_a(\theta) \leqq -\frac{2}{3}a\pi^3\theta^3 + \frac{1}{120}(a+1)^4\pi^5\theta^5$$

全体を $2\theta^3$（$\theta>0$ より $2\theta^3>0$）で割る。

$$-\frac{1}{3}a\pi^3 - \frac{1}{240}(a-1)^4\pi^5\theta^2 \leqq \frac{1}{\theta^3} I_a(\theta) \leqq -\frac{1}{3}a\pi^3 + \frac{1}{240}(a+1)^4\pi^5\theta^2$$

$\theta \to +0$ のとき、左辺と右辺の $\theta^2$ を含む項はともに $0$ に収束する。したがって、はさみうちの原理より以下が成り立つ。

$$\lim_{\theta \to +0} \frac{1}{\theta^3} I_a(\theta) = -\frac{1}{3}a\pi^3$$

解説

(1) は積和の公式を用いて積分を計算する基本的な問題である。公式を正しく適用し、計算ミスを防ぐことが重要である。 (2) の極限において、分母が $0$ に近づくときに全体が有限の値に収束するためには分子も $0$ に近づく必要がある、という考え方は微積分学における極限の基本である。この必要条件から $a$ を整数に絞り込み、その後で極限値が正になるという条件からさらに絞り込む。 (3) では、(2) で得られた $a$ が奇数であるという性質を活用する。三角関数の性質や加法定理を利用して式の形を整理することで、極限計算の基本形に帰着できる。 (4) は与えられた不等式を利用してはさみうちの原理を適用する。自力でマクローリン展開等から不等式を作らせる問題も大学入試では見られるが、本問は誘導があるためそれに素直に従えばよい。各項に不等式を適用してから引き算を行う際、不等号の向きに注意して下限と上限を正しく構成することがポイントである。