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数学3 極限問題 43 解説

方針・初手

分母が奇数の2乗の和となっているため、まずは第 $k$ 項の分母を計算し、一般項を簡単な式で表す。その後、数列の各項を部分分数分解し、隣り合う項が相殺される形（望遠鏡和）を作り出すことで $b_n$ を $n$ の式で求め、最後に極限をとる。

解法1

数列 $b_n$ の第 $k$ 項を $a_k$ とおく。すなわち、

$$a_k = \frac{k}{1+3^2+5^2+\cdots+(2k-1)^2}$$

である。

まず、$a_k$ の分母にある奇数の平方和を計算する。

$$\begin{aligned} 1+3^2+5^2+\cdots+(2k-1)^2 &= \sum_{i=1}^k (2i-1)^2 \\ &= \sum_{i=1}^k (4i^2 - 4i + 1) \\ &= 4 \sum_{i=1}^k i^2 - 4 \sum_{i=1}^k i + \sum_{i=1}^k 1 \\ &= 4 \cdot \frac{1}{6}k(k+1)(2k+1) - 4 \cdot \frac{1}{2}k(k+1) + k \\ &= \frac{2}{3}k(k+1)(2k+1) - 2k(k+1) + k \\ &= \frac{k}{3} \left\{ 2(k+1)(2k+1) - 6(k+1) + 3 \right\} \\ &= \frac{k}{3} (4k^2+6k+2 - 6k-6 + 3) \\ &= \frac{k(4k^2-1)}{3} \\ &= \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} \end{aligned}$$

したがって、第 $k$ 項 $a_k$ は次のように表される。

$$\begin{aligned} a_k &= \frac{k}{\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}} \\ &= \frac{3}{(2k-1)(2k+1)} \end{aligned}$$

これを部分分数分解する。

$$a_k = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$$

よって、$b_n$ は次のように求まる。

$$\begin{aligned} b_n &= \sum_{k=1}^n a_k \\ &= \sum_{k=1}^n \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) \\ &= \frac{3}{2} \left\{ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right\} \\ &= \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) \end{aligned}$$

求める極限は、

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} b_n &= \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) \\ &= \frac{3}{2} \cdot (1 - 0) \\ &= \frac{3}{2} \end{aligned}$$

となる。

解説

$\Sigma$ 計算と部分分数分解を用いた無限級数の標準的な問題である。分母の和の計算を正確に行い、約分によって分子の $k$ が消えることに気づけば、見慣れた部分分数分解の形に持ち込むことができる。分母の和の計算において、共通因数である $k$ や分数でくくり出しながら整理すると、計算ミスを減らすことができる。