数学3 極限 問題 46 解説

方針・初手

$x \to 4$ のとき、分母は $x-4 \to 0$、分子は $\sqrt{4+5}-3 = 3-3 = 0$ となり、$\frac{0}{0}$ の不定形となる。 このような無理式を含む不定形の極限では、分子を有理化して不定形の原因となっている因数（ここでは $x-4$）を作り出し、約分することが定石である。

解法1

分子と分母に $\sqrt{x+5}+3$ を掛けて、分子の有理化を行う。

$$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$$

$$= \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x+5}-3)(\sqrt{x+5}+3)}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}$$

分子を展開して整理する。

$$= \lim_{x \to 4} \frac{(x+5)-9}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}$$

$$= \lim_{x \to 4} \frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}$$

$x \to 4$ の極限を考える際、$x \neq 4$ より $x-4 \neq 0$ であるため、分子分母を $x-4$ で約分できる。

$$= \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x+5}+3}$$

不定形が解消されたので、$x=4$ を代入して極限値を求める。

$$= \frac{1}{\sqrt{4+5}+3}$$

$$= \frac{1}{3+3}$$

$$= \frac{1}{6}$$

解法2

微分の定義式を利用する。 $f(x) = \sqrt{x+5}$ とおくと、$f(4) = \sqrt{4+5} = 3$ である。 これを用いると、与えられた極限の式は次のように書き換えられる。

$$\lim_{x \to 4} \frac{f(x) - f(4)}{x-4}$$

これは、関数 $f(x)$ の $x=4$ における微分係数 $f'(4)$ の定義式そのものである。 $f(x) = (x+5)^{\frac{1}{2}}$ を微分すると、

$$f'(x) = \frac{1}{2}(x+5)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$$

となる。したがって、求める極限値は $f'(4)$ に等しい。

$$f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4+5}}$$

$$= \frac{1}{2\sqrt{9}}$$

$$= \frac{1}{2 \cdot 3}$$

$$= \frac{1}{6}$$

解説

無理式を含む $\frac{0}{0}$ 型の不定形の極限において、最も標準的で確実な手法は解法1に示した「有理化」である。分子または分母の共役な無理式を掛けることで因数を取り出し、約分する手順は確実にマスターしておきたい。

一方、解法2のように極限の式を「微分係数の定義式」として捉える視点を持っていると、煩雑な式変形を避け、微分の計算だけで素早く正確に答えを導くことができる。特にマークシート式や穴埋め問題では強力な手法となる。

答え

$\frac{1}{6}$