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数学3 極限問題 47 解説

方針・初手

条件を満たす組を数え上げるにあたり、文字 $a, b, c$ のうち1つを固定して他の文字の取り得る値の個数を求めるのが定石である。本問では、$b$ と $c$ の範囲がともに $a$ によって決まるため、$a$ を固定して考えるのが見通しがよい。 (1), (2) は (3) のための具体例であり、同じ方針で計算できる。 (3) の和の計算では、変数の置き換えを工夫することで計算を簡略化できる。(4) では、素数である $67$ の性質を活用して最小の $m$ を見つける。

解法1

(1) $a, b, c$ は正の整数であり、条件 $1 \leqq a \leqq b \leqq 2$ および $1 \leqq a < c \leqq 2$ を満たす。条件より、$a$ の取り得る値は $a=1, 2$ のみである。

($a=1$ のとき) $b$ は $1 \leqq 1 \leqq b \leqq 2$ より、$b=1, 2$ の $2$ 通り。 $c$ は $1 \leqq 1 < c \leqq 2$ より、$c=2$ の $1$ 通り。よって、$(a, b, c) = (1, 1, 2), (1, 2, 2)$ の $2$ 個。

($a=2$ のとき) $b$ は $1 \leqq 2 \leqq b \leqq 2$ より、$b=2$ の $1$ 通り。 $c$ は $1 \leqq 2 < c \leqq 2$ を満たす整数は存在しない。よって、条件を満たす組はない。

以上より、求める組は $(1, 1, 2), (1, 2, 2)$ である。

(2) 条件は $1 \leqq a \leqq b \leqq 3$ および $1 \leqq a < c \leqq 4$ である。 $a=1, 2, 3$ のそれぞれについて個数を求める。

($a=1$ のとき) $1 \leqq b \leqq 3$ より、$b$ は $1, 2, 3$ の $3$ 通り。 $1 < c \leqq 4$ より、$c$ は $2, 3, 4$ の $3$ 通り。組の個数は $3 \times 3 = 9$ 個。

($a=2$ のとき) $2 \leqq b \leqq 3$ より、$b$ は $2, 3$ の $2$ 通り。 $2 < c \leqq 4$ より、$c$ は $3, 4$ の $2$ 通り。組の個数は $2 \times 2 = 4$ 個。

($a=3$ のとき) $3 \leqq b \leqq 3$ より、$b$ は $3$ の $1$ 通り。 $3 < c \leqq 4$ より、$c$ は $4$ の $1$ 通り。組の個数は $1 \times 1 = 1$ 個。

(3) 条件は $1 \leqq a \leqq b \leqq m+1$ および $1 \leqq a < c \leqq 2m$ である。 $a$ は $1 \leqq a \leqq m+1$ の範囲を動く。ある $a$ を固定したとき、 $b$ は $a \leqq b \leqq m+1$ を満たすから、その個数は $(m+1) - a + 1 = m - a + 2$ 個である。 $c$ は $a < c \leqq 2m$ を満たすから、その個数は $2m - a$ 個である。ここで、$1 \leqq a \leqq m+1$ であり、$m$ は正の整数であるため、常に $2m - a \geqq m - 1 \geqq 0$ となり、$c$ の個数として矛盾しない。したがって、$b$ と $c$ は互いに独立に選べるため、ある $a$ に対する組の個数は $(m - a + 2)(2m - a)$ 個となる。

総数 $M(m)$ はこれを $a=1$ から $m+1$ まで足し合わせたものであるから、

$$M(m) = \sum_{a=1}^{m+1} (m - a + 2)(2m - a)$$

となる。ここで、$k = m - a + 2$ とおくと、$a = m - k + 2$ である。 $a$ が $1$ から $m+1$ まで動くとき、$k$ は $m+1$ から $1$ まで動く（減少する）。また、$2m - a = 2m - (m - k + 2) = m + k - 2$ であるから、和の順序を逆にして、

$$\begin{aligned} M(m) &= \sum_{k=1}^{m+1} k(m + k - 2) \\ &= \sum_{k=1}^{m+1} \{ k^2 + (m - 2)k \} \\ &= \sum_{k=1}^{m+1} k^2 + (m - 2) \sum_{k=1}^{m+1} k \\ &= \frac{1}{6}(m+1)(m+2)(2m+3) + (m-2) \cdot \frac{1}{2}(m+1)(m+2) \\ &= \frac{1}{6}(m+1)(m+2) \{ (2m+3) + 3(m-2) \} \\ &= \frac{1}{6}(m+1)(m+2)(5m-3) \end{aligned}$$

を得る。次に極限を計算する。

$$\begin{aligned} \lim_{m \to \infty} \frac{M(m)}{m^3} &= \lim_{m \to \infty} \frac{(m+1)(m+2)(5m-3)}{6m^3} \\ &= \lim_{m \to \infty} \frac{1}{6} \left( 1 + \frac{1}{m} \right) \left( 1 + \frac{2}{m} \right) \left( 5 - \frac{3}{m} \right) \\ &= \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 5 = \frac{5}{6} \end{aligned}$$

(4) $M(m) = \frac{(m+1)(m+2)(5m-3)}{6}$ が $67$ の倍数となる条件を考える。 $67$ は素数であり、分母の $6$ とは互いに素であるため、$M(m)$ が整数かつ $67$ の倍数になるためには、分子の $(m+1)(m+2)(5m-3)$ が $67$ の倍数でなければならない。積が素数 $67$ の倍数であるから、各因数のうち少なくとも1つが $67$ の倍数である。

(i) $m+1$ が $67$ の倍数であるとき $m+1 = 67k$ （$k$ は正の整数）と表せる。 $m = 67k - 1$ となり、最小となる正の整数 $m$ は $k=1$ のときの $m = 66$ である。

(ii) $m+2$ が $67$ の倍数であるとき $m+2 = 67k$ （$k$ は正の整数）と表せる。 $m = 67k - 2$ となり、最小となる正の整数 $m$ は $k=1$ のときの $m = 65$ である。

(iii) $5m-3$ が $67$ の倍数であるとき $5m - 3 \equiv 0 \pmod{67}$ $5m \equiv 3 \pmod{67}$ 両辺を等価な数に変形していくと、$3 \equiv 70 \pmod{67}$ であるから、 $5m \equiv 70 \pmod{67}$ $5$ と $67$ は互いに素であるため、両辺を $5$ で割って、 $m \equiv 14 \pmod{67}$ よって、これを満たす最小の正の整数 $m$ は $m = 14$ である。このとき $5m-3 = 5 \times 14 - 3 = 67$ であり、実際に $67$ の倍数となる。

以上 (i), (ii), (iii) のうち、最小の正の整数 $m$ は $14$ である。

解説

変数を固定して数え上げるという、場合の数の定石に忠実な問題である。(1) と (2) を通じて規則性をつかみ、それを (3) で一般化するという構成になっている。 (3) の $\Sigma$ 計算において、そのまま展開するのではなく、$k = m - a + 2$ のように和の添字を置換することで、式が簡潔になり計算ミスを防ぎやすくなる。 (4) では整数の性質が問われている。分数が整数になる条件や、素数であることを利用して積の性質から各因数に条件を絞り込む手法は、整数問題における重要かつ典型的な考え方である。合同式を活用すると一次合同方程式を容易に解くことができる。