数学3 極限 問題 61 解説

方針・初手

半径 $1$ の円の周りに半径 $\frac{1}{n}$ の円を並べるにあたり、隣り合う2つの円が重ならないための条件を中心角で表す。外接する円の個数は $2\pi$ をその中心角で割った値の整数部分となるため、不等式を立ててはさみうちの原理を用いる。

解法1

半径 $1$ の円の中心を $\mathrm{O}$ とする。この円に外接する半径 $\frac{1}{n}$ の円の中心を $\mathrm{P}$ とすると、線分 $\mathrm{OP}$ の長さは

$$\mathrm{OP} = 1 + \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}$$

である。

半径 $\frac{1}{n}$ の円のうち、隣り合う2つの円が接するときの中心角を $\theta_n$（$0 < \theta_n < \pi$）とする。この2円の中心間の距離は $\frac{2}{n}$ であるから、円 $\mathrm{O}$ の中心とこれら2円の中心を結んでできる二等辺三角形について考えると、

$$\sin \frac{\theta_n}{2} = \frac{\frac{1}{n}}{\mathrm{OP}} = \frac{\frac{1}{n}}{\frac{n+1}{n}} = \frac{1}{n+1}$$

が成り立つ。

半径 $\frac{1}{n}$ の円が互いに重なり合わないように配置できる最大の個数 $a_n$ は、$2\pi$ の中に角 $\theta_n$ がいくつ入るかによって決まる。すなわち、$a_n$ は $\frac{2\pi}{\theta_n}$ 以下の最大の整数であるから、次の不等式が成り立つ。

$$\frac{2\pi}{\theta_n} - 1 < a_n \le \frac{2\pi}{\theta_n}$$

辺々を $n$ で割ると、

$$\frac{2\pi}{n\theta_n} - \frac{1}{n} < \frac{a_n}{n} \le \frac{2\pi}{n\theta_n}$$

ここで、$\lim_{n \to \infty} n\theta_n$ について調べる。

$t = \frac{\theta_n}{2}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n+1} \to 0$ であるから、$t \to +0$ である。 $\sin t = \frac{1}{n+1}$ より、$n+1 = \frac{1}{\sin t}$ すなわち $n = \frac{1}{\sin t} - 1$ であるから、

$$\begin{aligned} n\theta_n &= \left( \frac{1}{\sin t} - 1 \right) \cdot 2t \\ &= 2 \cdot \frac{t}{\sin t} - 2t \end{aligned}$$

$t \to +0$ のとき、$\frac{\sin t}{t} \to 1$ より $\frac{t}{\sin t} \to 1$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} n\theta_n = 2 \cdot 1 - 0 = 2$$

これを用いると、極限値は次のように計算できる。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2\pi}{n\theta_n} = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2\pi}{n\theta_n} - \frac{1}{n} \right) = \pi - 0 = \pi$$

したがって、はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \pi$$

解説

図形的な接触条件を立式し、そこから得られる不等式をはさみうちの原理を用いて極限に持ち込む典型的な問題である。「最大個数」という離散的な値をガウス記号と同様の不等式処理で連続的な評価に落とし込むステップと、$\frac{\sin x}{x} \to 1$ を活用する極限計算が鍵となる。角度の置き換えを丁寧に行い、計算ミスを防ぐことが重要である。

答え

$$\pi$$