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数学3 極限問題 60 解説

方針・初手

(1) は $\alpha, \beta$ の対称式に関する証明である。解と係数の関係により $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ の値が求まるため、$a_n = \alpha^n + \beta^n$ とおいて隣接3項間の漸化式を導き、数学的帰納法を用いるのが定石である。

(2) は (1) の結果を利用する。$\alpha^n + \beta^n$ が偶数であることから $\alpha^n = 2m - \beta^n$ ($m$ は整数) と表せる。これを $\sin(\alpha^n \pi)$ に代入することで、扱いやすい $\beta$ の式へと変形する。$\alpha\beta = -1$ と $|\alpha| > 1$ から $|\beta| < 1$ がわかるため、$n \to \infty$ で $\beta^n \to 0$ となることを利用して極限を計算する。

解法1

(1)

方程式 $x^2 - 2px - 1 = 0$ の解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より以下の等式が成り立つ。

$$\alpha + \beta = 2p$$

$$\alpha\beta = -1$$

すべての正の整数 $n$ に対し、$a_n = \alpha^n + \beta^n$ とおく。

$n=1$ のとき、

$$a_1 = \alpha + \beta = 2p$$

$p$ は正の整数であるから、$a_1$ は偶数である。

$n=2$ のとき、

$$a_2 = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (2p)^2 - 2(-1) = 4p^2 + 2 = 2(2p^2 + 1)$$

$p$ は正の整数であるから、$a_2$ は偶数である。

また、$n \ge 1$ に対して以下の変形が成り立つ。

$$a_{n+2} = \alpha^{n+2} + \beta^{n+2} = (\alpha + \beta)(\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) - \alpha\beta(\alpha^n + \beta^n)$$

解と係数の関係を代入して、以下の隣接3項間の漸化式を得る。

$$a_{n+2} = 2p a_{n+1} + a_n$$

ここで、$k$ を正の整数とし、$a_k, a_{k+1}$ がともに偶数であると仮定する。

このとき、$2p a_{k+1}$ は整数 $p$ と偶数 $a_{k+1}$ の積の2倍であるから偶数であり、$a_k$ も偶数である。偶数どうしの和は偶数であるから、漸化式より $a_{k+2}$ も偶数となる。

以上より、数学的帰納法によって、すべての正の整数 $n$ に対して $a_n = \alpha^n + \beta^n$ は整数であり、さらに偶数であることが証明された。

(2)

(1) の結果より、すべての正の整数 $n$ に対して $\alpha^n + \beta^n = 2m_n$ ($m_n$ は整数) とおける。

これを変形すると、以下のようになる。

$$\alpha^n = 2m_n - \beta^n$$

これを用いて、極限を求める式に含まれる $\sin(\alpha^n \pi)$ を変形する。

$$\sin(\alpha^n \pi) = \sin((2m_n - \beta^n)\pi) = \sin(2m_n\pi - \beta^n\pi) = -\sin(\beta^n \pi)$$

また、$\alpha\beta = -1$ より、$-\alpha = \frac{1}{\beta}$ である。

これらを極限の式に代入する。

$$(-\alpha)^n \sin(\alpha^n \pi) = \left( \frac{1}{\beta} \right)^n \{-\sin(\beta^n \pi)\} = -\frac{\sin(\beta^n \pi)}{\beta^n}$$

条件より $|\alpha| > 1$ であり、$\alpha\beta = -1$ であるから、

$$|\beta| = \frac{1}{|\alpha|} < 1$$

したがって、$n \to \infty$ のとき $\beta^n \to 0$ となる。このとき $\beta^n \pi \to 0$ でもある。

よって、求める極限は次のように計算できる。

$$\lim_{n \to \infty} (-\alpha)^n \sin(\alpha^n \pi) = \lim_{n \to \infty} \left\{ -\pi \cdot \frac{\sin(\beta^n \pi)}{\beta^n \pi} \right\} = -\pi \cdot 1 = -\pi$$

解説

2次方程式の解の累乗の和を扱う典型的な問題である。(1) で対称式の漸化式を立てて偶数であることを示し、(2) でその結果を用いて $\sin(\alpha^n \pi)$ を変形する流れが非常に美しい。

$\sin(\alpha^n \pi)$ のように、無限大に発散する値が $\sin$ の中に入っている場合、整数に近い値をとることを利用して、$0$ に収束する項のみを残すように変形するのが定石である。本問では (1) の誘導によって自然に $\beta^n \pi$ という $0$ に収束する微小量を作り出すことができ、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の公式に帰着できる。