数学3 はさみうち 問題 1 解説

方針・初手

与えられた数列の和は直接計算することができない。このような場合、和の極限を求めるには不等式を用いて下から評価し、極限が正の無限大に発散することを示す「追い出しの原理」を利用する方針をとる。

評価の方法として、最も小さくなる項にすべて置き換えて計算を単純化する方法と、関数の面積（定積分）と比較する方法の2つが考えられる。

解法1

自然数 $n$ に対して、$1 \leqq k \leqq n$ の範囲を考える。

このとき $\sqrt{k} \leqq \sqrt{n}$ であるから、逆数をとると次が成り立つ。

$$\frac{1}{\sqrt{k}} \geqq \frac{1}{\sqrt{n}}$$

両辺について、$k=1$ から $n$ までの和をとる。

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \geqq \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n}}$$

右辺は $k$ に無関係な定数 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ を $n$ 個足し合わせる計算であるため、次のように変形できる。

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n}} = n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$$

よって、次のような不等式評価が得られる。

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \geqq \sqrt{n}$$

ここで、$n \to \infty$ のとき右辺は次のように無限大に発散する。

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} = \infty$$

したがって、追い出しの原理により、求める極限は次のようになる。

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} = \infty$$

解法2

関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ は $x > 0$ において単調減少である。

自然数 $k$ に対して、$k \leqq x \leqq k+1$ のとき、次が成り立つ。

$$\frac{1}{\sqrt{k}} \geqq \frac{1}{\sqrt{x}}$$

この区間において、定数 $\frac{1}{\sqrt{k}}$ を関数 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ で下から評価し、区間 $[k, k+1]$ で定積分する。

$$\int_{k}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{k}} dx > \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$$

左辺は底辺の長さが $1$、高さが $\frac{1}{\sqrt{k}}$ の長方形の面積であるから、次のように整理できる。

$$\frac{1}{\sqrt{k}} > \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$$

この両辺について、$k=1$ から $n$ までの和をとる。

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} > \sum_{k=1}^n \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$$

右辺の定積分の和は、区間が連結されるため1つの定積分にまとめることができる。

$$\sum_{k=1}^n \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_{1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$$

この定積分を計算する。

$$\int_{1}^{n+1} x^{-\frac{1}{2}} dx = \left[ 2\sqrt{x} \right]_1^{n+1} = 2\sqrt{n+1} - 2$$

よって、次のような不等式評価が得られる。

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} > 2\sqrt{n+1} - 2$$

ここで、$n \to \infty$ のとき右辺は次のように無限大に発散する。

$$\lim_{n \to \infty} (2\sqrt{n+1} - 2) = \infty$$

したがって、追い出しの原理により、求める極限は次のようになる。

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} = \infty$$

解説

和が直接計算できない数列の極限において、不等式で評価してはさみうちの原理（あるいは追い出しの原理）を用いる定石問題である。

解法1の「最も小さい項に合わせて評価する」手法は、計算が非常に簡潔になるため、本問のような場合には極めて有効である。

解法2の「長方形の面積の和を定積分で評価する」手法（いわゆる区分求積法に似た面積比較）は、より精密な評価が必要な場合にも対応できる汎用性の高い発想である。大学入試では頻出の手法であるため、確実に押さえておきたい。

答え

$\infty$