数学3 はさみうち 問題 2 解説

注意 画像の一部が不鮮明で、特に(2)の分母が「$T_n$」か「$T_n^2$」かの読取りに不確実性があります。極限の収束性を考慮し、以下は「$T_n^2$」として解釈した場合の解答解説です。

方針・初手

(1) は和を定積分で評価する典型的な手法を用います。関数 $y=x^7$ のグラフが単調増加であることを利用し、各区間における長方形の面積と曲線の下の面積を比較して不等式を作ります。 (2) は (1) で得られた不等式からはさみうちの原理を用いて $\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^8}$ の値を求め、$T_n$ の公式を利用して極限を計算します。

解法1

(1)

関数 $f(x) = x^7$ は $x > 0$ において単調増加である。 自然数 $k$ に対して、$k-1 \leqq x \leqq k$ のとき、

$$ x^7 \leqq k^7 $$

が成り立つ。等号は常に成立するわけではないので、この区間で積分すると、

$$ \int_{k-1}^k x^7 \,dx < \int_{k-1}^k k^7 \,dx = k^7 $$

となる。 これを $k=1$ から $n$ まで足し合わせると、

$$ \sum_{k=1}^n \int_{k-1}^k x^7 \,dx < \sum_{k=1}^n k^7 $$

左辺は区間がつながり $\int_0^n x^7 \,dx$ となるため、

$$ \int_0^n x^7 \,dx < S_n $$

$$ \left[ \frac{x^8}{8} \right]_0^n < S_n $$

$$ \frac{n^8}{8} < S_n \quad \cdots \text{①} $$

また、$k \leqq x \leqq k+1$ のとき、

$$ k^7 \leqq x^7 $$

が成り立ち、同様に積分すると、

$$ k^7 = \int_k^{k+1} k^7 \,dx < \int_k^{k+1} x^7 \,dx $$

となる。 これを $k=1$ から $n$ まで足し合わせると、

$$ \sum_{k=1}^n k^7 < \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} x^7 \,dx $$

右辺は区間がつながり $\int_1^{n+1} x^7 \,dx$ となるため、

$$ S_n < \int_1^{n+1} x^7 \,dx $$

$$ S_n < \left[ \frac{x^8}{8} \right]_1^{n+1} $$

$$ S_n < \frac{(n+1)^8 - 1}{8} \quad \cdots \text{②} $$

①、②より、すべての自然数 $n$ に対して、

$$ \frac{n^8}{8} < S_n < \frac{(n+1)^8 - 1}{8} $$

が成り立つ。

(2)

(1) で示した不等式の各辺を $n^8$ ($n^8 > 0$) で割ると、

$$ \frac{1}{8} < \frac{S_n}{n^8} < \frac{(n+1)^8 - 1}{8n^8} $$

ここで、右辺の極限を考えると、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^8 - 1}{8n^8} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{8} \left\{ \frac{(n+1)^8}{n^8} - \frac{1}{n^8} \right\} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{8} \left\{ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^8 - \frac{1}{n^8} \right\} = \frac{1}{8} $$

となる。 したがって、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^8} = \frac{1}{8} \quad \cdots \text{③} $$

一方、$T_n$ は自然数の3乗の和であるから、公式より、

$$ T_n = \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} $$

である。よって、$T_n^2$ は、

$$ T_n^2 = \frac{n^4(n+1)^4}{16} $$

となる。これより、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{T_n^2}{n^8} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^4(n+1)^4}{16n^8} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{16} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^4 = \frac{1}{16} \quad \cdots \text{④} $$

と求められる。

③、④より、求める極限は、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{T_n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{S_n}{n^8}}{\frac{T_n^2}{n^8}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{16}} = 2 $$

解説

(1) は、数列の和 $\sum f(k)$ を定積分 $\int f(x) \,dx$ で評価する定石の証明です。$f(x)$ が単調増加であることから、各区間における長方形の面積と曲線の面積の大小関係を比較します。 (2) は、(1) で求めた不等式を利用して極限を求める問題です。和 $S_n$ の閉じた式を直接求めるのは困難ですが、不等式評価により $n \to \infty$ での主要な挙動が $n^8/8$ と等しいことが分かれば十分です。分子・分母の最高次の項である $n^8$ で割ることで、不定形を解消できます。

答え

(1) （証明終了）

(2) $2$