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数学3 はさみうち問題 9 解説

方針・初手

(1) は不等式の証明の定石通り、(右辺) - (左辺) を関数としておき、微分して増減を調べる。不等式が2つ連なっているので、左側と右側の不等式をそれぞれ別々に証明する。

(2) は与えられた関数 $y$ を微分して増減を調べ、さらに $x \to +0$ と $x \to \infty$ の両端における極限を求める。導関数の符号判定や $x \to +0$ の極限計算において、(1) で示した不等式が重要な役割を果たすことに着目する。

解法1

(1)

まず、左側の不等式 $x - \frac{x^2}{2} < \log(1+x)$ を示す。

$$f(x) = \log(1+x) - \left( x - \frac{x^2}{2} \right)$$

とおく。これを $x$ について微分すると、

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{1+x} - 1 + x \\ &= \frac{1 - (1-x)(1+x)}{1+x} \\ &= \frac{1 - (1-x^2)}{1+x} \\ &= \frac{x^2}{1+x} \end{aligned}$$

$x>0$ のとき $x^2 > 0$ かつ $1+x > 0$ であるから、$f'(x) > 0$ となる。したがって、$f(x)$ は $x \ge 0$ において単調に増加する。 $f(0) = \log 1 - 0 = 0$ であるから、$x>0$ において $f(x) > f(0) = 0$ が成り立つ。よって、$x - \frac{x^2}{2} < \log(1+x)$ が示された。

次に、右側の不等式 $\log(1+x) < \frac{x}{\sqrt{1+x}}$ を示す。

$$g(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x}} - \log(1+x)$$

とおく。これを $x$ について微分すると、商の微分法と合成関数の微分法を用いて、

$$\begin{aligned} g'(x) &= \frac{1 \cdot \sqrt{1+x} - x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{1+x} - \frac{1}{1+x} \\ &= \frac{2(1+x) - x}{2(1+x)\sqrt{1+x}} - \frac{2\sqrt{1+x}}{2(1+x)\sqrt{1+x}} \\ &= \frac{x + 2 - 2\sqrt{1+x}}{2(1+x)\sqrt{1+x}} \end{aligned}$$

ここで、$g'(x)$ の分子について考える。 $x>0$ のとき $x+2 > 0$ であり、$2\sqrt{1+x} > 0$ である。これらの平方の差をとると、

$$\begin{aligned} (x+2)^2 - (2\sqrt{1+x})^2 &= (x^2 + 4x + 4) - 4(1+x) \\ &= x^2 > 0 \end{aligned}$$

ゆえに $x+2 > 2\sqrt{1+x}$ が成り立つので、$g'(x)$ の分子は正である。分母も $x>0$ で正であるから、$g'(x) > 0$ となる。したがって、$g(x)$ は $x \ge 0$ において単調に増加する。 $g(0) = 0 - \log 1 = 0$ であるから、$x>0$ において $g(x) > g(0) = 0$ が成り立つ。よって、$\log(1+x) < \frac{x}{\sqrt{1+x}}$ が示された。

以上より、$x>0$ の範囲で不等式 $x - \frac{x^2}{2} < \log(1+x) < \frac{x}{\sqrt{1+x}}$ が成り立つ。

(2)

与えられた関数 $y = \frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x}$ を $x$ について微分する。

$$\begin{aligned} y' &= - \frac{\frac{1}{1+x}}{\{\log(1+x)\}^2} - \left( -\frac{1}{x^2} \right) \\ &= - \frac{1}{(1+x)\{\log(1+x)\}^2} + \frac{1}{x^2} \\ &= \frac{-(x^2) + (1+x)\{\log(1+x)\}^2}{x^2(1+x)\{\log(1+x)\}^2} \end{aligned}$$

ここで、(1) で示した右側の不等式 $\log(1+x) < \frac{x}{\sqrt{1+x}}$ を用いる。 $x>0$ において両辺は正であるから、両辺を2乗しても大小関係は変わらない。

$$\{\log(1+x)\}^2 < \frac{x^2}{1+x}$$

両辺に $1+x$ $(>0)$ を掛けると、

$$(1+x)\{\log(1+x)\}^2 < x^2$$

すなわち、

$$(1+x)\{\log(1+x)\}^2 - x^2 < 0$$

これは $y'$ の分子に等しい。分母は $x>0$ において常に正であるから、$y' < 0$ となる。よって、$y$ は $x>0$ の範囲で単調に減少する。

次に、$y$ の極限を調べる。まず $x \to +0$ の極限について、(1) で示した不等式を利用する。 $0 < x < 2$ の範囲において $x - \frac{x^2}{2} = \frac{x(2-x)}{2} > 0$ であるから、(1) の不等式の各辺は正である。逆数をとると大小関係が反転し、

$$\frac{\sqrt{1+x}}{x} < \frac{1}{\log(1+x)} < \frac{1}{x - \frac{x^2}{2}}$$

各辺から $\frac{1}{x}$ を引くと、

$$\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} < \frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x} < \frac{1}{x - \frac{x^2}{2}} - \frac{1}{x}$$

ここで、左辺の極限は有理化を用いて、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to +0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} &= \lim_{x \to +0} \frac{(\sqrt{1+x} - 1)(\sqrt{1+x} + 1)}{x(\sqrt{1+x} + 1)} \\ &= \lim_{x \to +0} \frac{(1+x) - 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} \\ &= \lim_{x \to +0} \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

また、右辺の極限は通分して、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to +0} \left( \frac{1}{x - \frac{x^2}{2}} - \frac{1}{x} \right) &= \lim_{x \to +0} \left( \frac{2}{x(2-x)} - \frac{1}{x} \right) \\ &= \lim_{x \to +0} \frac{2 - (2-x)}{x(2-x)} \\ &= \lim_{x \to +0} \frac{x}{x(2-x)} \\ &= \lim_{x \to +0} \frac{1}{2-x} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

したがって、はさみうちの原理より、

$$\lim_{x \to +0} y = \frac{1}{2}$$

次に $x \to \infty$ の極限については、$\lim_{x \to \infty} \log(1+x) = \infty$ であり、$\lim_{x \to \infty} x = \infty$ であるから、

$$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x} \right) = 0 - 0 = 0$$

以上より、関数 $y$ は単調に減少し、$x \to +0$ のとき $\frac{1}{2}$ に近づき、$x \to \infty$ のとき $0$ に近づく。したがって、$y$ のとりうる値の範囲は $0 < y < \frac{1}{2}$ である。

解説

本問は前の設問が後の設問の誘導となる、大学入試の微積分における非常に美しく典型的な問題である。 (1)の不等式証明は、差をとって微分するという基本操作を忠実に行えば証明できる。計算ミスを防ぐため、大小比較には平方の差をとる手法が有効である。 (2)では、一見複雑な関数のとりうる値の範囲を求めるが、導関数の符号判定において(1)の右側の不等式が、また $x \to +0$ における極限計算においてはさみうちの原理を適用するために(1)の不等式全体が見事に利用されている。前の設問の結果をどのように活かすかという「誘導に乗る力」が試される。