数学3 はさみうち 問題 8 解説

方針・初手

• (1)は微分法則に従って慎重に計算を進める。対数関数の微分と商の微分（または積の微分）を正しく適用する。
• (2)は第2次導関数の符号から第1次導関数 $f'(x)$ の増減を調べ、さらに $f'(x)$ の符号から元の関数 $f(x)$ の増減を調べて最小値を求めるという定石に従う。
• (3)は(2)で得られた不等式を評価し、はさみうちの原理を利用して極限を求める。$x \to \infty$ の極限を考えるため、$x > 1$ と限定して不等式を処理すると見通しが良くなる。

解法1

(1)

$f(x) = 6x - 6\log x - 3(\log x)^2 - (\log x)^3$ を $x$ で微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= 6 - \frac{6}{x} - 3 \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} - 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} \\ &= 6 - \frac{6}{x} - \frac{6\log x}{x} - \frac{3(\log x)^2}{x} \end{aligned}$$

さらに $x$ で微分して第2次導関数 $f''(x)$ を求める。

$$\begin{aligned} f''(x) &= 0 - \left(-\frac{6}{x^2}\right) - \left\{ \frac{6 \cdot \frac{1}{x} \cdot x - 6\log x \cdot 1}{x^2} \right\} - \left\{ \frac{3 \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \cdot x - 3(\log x)^2 \cdot 1}{x^2} \right\} \\ &= \frac{6}{x^2} - \frac{6 - 6\log x}{x^2} - \frac{6\log x - 3(\log x)^2}{x^2} \\ &= \frac{6 - 6 + 6\log x - 6\log x + 3(\log x)^2}{x^2} \\ &= \frac{3(\log x)^2}{x^2} \end{aligned}$$

(2)

(1) の結果より、常に $3(\log x)^2 \geqq 0$ かつ $x^2 > 0$ であるから、すべての $x > 0$ に対して以下が成り立つ。

$$f''(x) \geqq 0$$

等号は $\log x = 0$ すなわち $x = 1$ のときのみ成り立つ。 これにより、$f'(x)$ は $x > 0$ において単調に増加する。

ここで、$x = 1$ のときの $f'(x)$ の値を求めると、

$$f'(1) = 6 - 6 - 0 - 0 = 0$$

したがって、$f'(x)$ の符号は $x = 1$ を境にして負から正へと変化する。 すなわち、 $0 < x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$ $x = 1$ のとき、$f'(x) = 0$ $x > 1$ のとき、$f'(x) > 0$ となる。

これより、$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

増減表から、$f(x)$ は $x = 1$ において極小かつ最小となる。 このとき、最小値 $f(1)$ は、

$$f(1) = 6 - 0 - 0 - 0 = 6$$

よって、すべての正の実数 $x$ に対して $f(x) \geqq f(1)$ が成り立つ。

(3)

(2) より、$x > 0$ において以下の不等式が成り立つ。

$$6x - 6\log x - 3(\log x)^2 - (\log x)^3 \geqq 6$$

これを整理すると、

$$6x \geqq (\log x)^3 + 3(\log x)^2 + 6\log x + 6$$

いま、$x \to \infty$ の極限を考えるため、$x > 1$ の範囲で考える。 $x > 1$ のとき $\log x > 0$ であり、上式の右辺の項はすべて正となるから、

$$(\log x)^3 + 3(\log x)^2 + 6\log x + 6 > (\log x)^3$$

したがって、以下の不等式を得る。

$$6x > (\log x)^3$$

両辺は正であるから、両辺を $x\log x$ で割ると、

$$\frac{6}{\log x} > \frac{(\log x)^2}{x}$$

また、$x > 1$ においては明らかに $\frac{(\log x)^2}{x} > 0$ であるため、次の不等式が成り立つ。

$$0 < \frac{(\log x)^2}{x} < \frac{6}{\log x}$$

ここで、$x \to \infty$ のとき $\log x \to \infty$ であるから、

$$\lim_{x\to\infty} \frac{6}{\log x} = 0$$

以上より、はさみうちの原理から求める極限は、

$$\lim_{x\to\infty} \frac{(\log x)^2}{x} = 0$$

解説

関数の増減と不等式の証明、および極限を求める微積分における標準的な問題である。

(1) の微分計算を確実に行うことが以降の設問の土台となる。(2) において、第1次導関数の符号変化を調べるために第2次導関数まで計算させる誘導は、理系数学において頻出のパターンである。

(3) では、(2) で証明した不等式を用いてはさみうちの原理を適用する。求めたい極限の形 $\frac{(\log x)^2}{x}$ を作り出すために、不等式の右辺から必要な項（この場合は $(\log x)^3$）だけを残して大小関係を評価する発想が重要となる。

答え

(1)

$$f'(x) = 6 - \frac{6}{x} - \frac{6\log x}{x} - \frac{3(\log x)^2}{x}$$

$$f''(x) = \frac{3(\log x)^2}{x^2}$$

(2)

解説の通り（増減表を用いて $x=1$ で最小となることを示す）。

(3)

$$\lim_{x\to\infty} \frac{(\log x)^2}{x} = 0$$