数学3 接線・極限との複合 問題 72 解説

方針・初手

$t\to\infty$ の極限なので、$t>2$ として考える。領域は第1象限で、直線 $x+y=t$ の下側と双曲線 $xy=1$ の下側の共通部分である。

$x$ を固定して縦に切ると、$y$ の上限は

$$ y=\min\left(t-x,\frac{1}{x}\right) $$

で決まる。したがって、直線 $y=t-x$ と双曲線 $y=1/x$ の交点を境に積分範囲を分ければよい。

解法1

直線 $x+y=t$ と双曲線 $xy=1$ の交点を求める。

$y=t-x$ を $xy=1$ に代入すると、

$$ x(t-x)=1 $$

すなわち

$$ x^2-tx+1=0 $$

である。$t>2$ のとき、この2つの解を

$$ a=\frac{t-\sqrt{t^2-4}}{2},\qquad b=\frac{t+\sqrt{t^2-4}}{2} $$

とおく。ただし、

$$ a+b=t,\qquad ab=1 $$

である。

$x$ の範囲は $0\leqq x\leqq t$ であり、縦方向の上限は $t-x$ と $1/x$ の小さい方である。

比較すると、

$$ t-x\leqq \frac{1}{x} $$

は

$$ x(t-x)\leqq 1 $$

と同値である。よって、$0\leqq x\leqq a$ および $b\leqq x\leqq t$ では直線が上限になり、$a\leqq x\leqq b$ では双曲線が上限になる。

したがって面積 $S(t)$ は

$$ S(t)=\int_0^a (t-x),dx+\int_a^b \frac{1}{x},dx+\int_b^t (t-x),dx $$

である。

順に計算すると、

$$ \int_0^a (t-x),dx=ta-\frac{a^2}{2} $$

また、

$$ \int_a^b \frac{1}{x},dx=\log b-\log a=\log\frac{b}{a} $$

さらに、$t-b=a$ より

$$ \int_b^t (t-x),dx=\frac{(t-b)^2}{2}=\frac{a^2}{2} $$

である。よって

$$ S(t)=ta+\log\frac{b}{a} $$

となる。

ここで $ab=1$ より $a=1/b$ であるから、

$$ \log\frac{b}{a}=\log b^2=2\log b $$

である。したがって

$$ S(t)=ta+2\log b $$

となる。

求める極限は

$$ S(t)-2\log t=ta+2\log\frac{b}{t} $$

である。

ここで

$$ a=\frac{t-\sqrt{t^2-4}}{2} =\frac{2}{t+\sqrt{t^2-4}} $$

より、

$$ ta=\frac{2t}{t+\sqrt{t^2-4}}\to 1 \quad (t\to\infty) $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \frac{b}{t} &= \frac{t+\sqrt{t^2-4}}{2t} \\ \frac{1+\sqrt{1-\frac{4}{t^2}}}{2} \to 1 \quad (t\to\infty) \end{aligned} $$

だから、

$$ 2\log\frac{b}{t}\to 0 $$

である。

以上より、

$$ \begin{aligned} \lim_{t\to\infty}{S(t)-2\log t} &= 1+0 \\ 1 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、$xy\leqq 1$ の領域が第1象限で無限に広がるため、直線 $x+y\leqq t$ によって切り取られる部分の面積を考えることになる。

重要なのは、縦に切ったときの上限が常に同じ式ではなく、直線 $y=t-x$ と双曲線 $y=1/x$ の小さい方で決まる点である。そのため、交点 $a,b$ を境に積分範囲を分割する必要がある。

また、$a+b=t,\ ab=1$ を使うと、面積の式が

$$ S(t)=ta+2\log b $$

まで簡単に整理できる。最後は $b\sim t,\ ta\to 1$ を使えば極限がすぐに求まる。

答え

$$ \boxed{1} $$