北海道大学 2020年 理系 第5問 解説

方針・初手

(1) 与えられた積分方程式の左辺は、置換積分（合成関数の積分）と部分分数分解を用いて計算することができます。まずは左辺の定積分を計算し、$f(x)$ についての方程式を導きます。

(2) (1)で求めた $f(x)$ は正の値をとるため、面積 $S(a)$ は $f(x)$ の定積分として表されます。分子が分母の微分に近い形をしていることに着目して積分を計算します。面積の極限については、$0/0$ の不定形になるため、微分の定義式の形と見抜いて極限値を求めます。

解法1

(1)

与えられた条件式の左辺の積分を行う。 被積分関数を部分分数分解すると、

$$ \frac{1}{\{1-f(t)\}f(t)} = \frac{1}{f(t)} + \frac{1}{1-f(t)} $$

となるので、条件式は次のように変形できる。

$$ \int_0^x \left( \frac{f'(t)}{f(t)} + \frac{f'(t)}{1-f(t)} \right) dt = ax $$

この左辺を積分すると、

$$ \left[ \log|f(t)| - \log|1-f(t)| \right]_0^x = ax $$

$$ \left[ \log \left| \frac{f(t)}{1-f(t)} \right| \right]_0^x = ax $$

条件 $0 < f(t) < 1$ より、$f(t) > 0$ かつ $1-f(t) > 0$ であるため、絶対値記号はそのまま外すことができる。

$$ \log \frac{f(x)}{1-f(x)} - \log \frac{f(0)}{1-f(0)} = ax $$

ここで、条件 $f(0) = \frac{1}{3}$ を代入する。

$$ \log \frac{f(0)}{1-f(0)} = \log \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \log \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \log \frac{1}{2} = -\log 2 $$

これを与式に代入して整理する。

$$ \log \frac{f(x)}{1-f(x)} - (-\log 2) = ax $$

$$ \log \frac{2f(x)}{1-f(x)} = ax $$

対数の定義より、

$$ \frac{2f(x)}{1-f(x)} = e^{ax} $$

分母を払って $f(x)$ について解く。

$$ 2f(x) = e^{ax} - e^{ax}f(x) $$

$$ (e^{ax} + 2)f(x) = e^{ax} $$

$e^{ax} + 2 > 0$ であるから、

$$ f(x) = \frac{e^{ax}}{e^{ax} + 2} $$

(2)

(1)より $f(x) = \frac{e^{ax}}{e^{ax} + 2}$ であり、$a$ は正の定数であるから、すべての実数 $x$ に対して $f(x) > 0$ である。 したがって、求める面積 $S(a)$ は、

$$ S(a) = \int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 \frac{e^{ax}}{e^{ax} + 2} dx $$

ここで、$(e^{ax} + 2)' = ae^{ax}$ であることを利用して積分する。

$$ S(a) = \frac{1}{a} \int_0^1 \frac{ae^{ax}}{e^{ax} + 2} dx $$

$$ = \frac{1}{a} \left[ \log(e^{ax} + 2) \right]_0^1 $$

$$ = \frac{1}{a} \left( \log(e^a + 2) - \log(e^0 + 2) \right) $$

$$ = \frac{\log(e^a + 2) - \log 3}{a} $$

次に、$\lim_{a \to +0} S(a)$ を求める。

$$ \lim_{a \to +0} S(a) = \lim_{a \to +0} \frac{\log(e^a + 2) - \log 3}{a} $$

ここで、$g(x) = \log(e^x + 2)$ とおくと、$g(0) = \log 3$ である。 また、$g(x)$ は微分可能であり、その導関数は、

$$ g'(x) = \frac{e^x}{e^x + 2} $$

である。したがって、求める極限は微分の定義式 $\lim_{x \to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x} = g'(0)$ と一致する。

$$ \lim_{a \to +0} S(a) = \lim_{a \to +0} \frac{g(a) - g(0)}{a} $$

$$ = g'(0) $$

$$ = \frac{e^0}{e^0 + 2} $$

$$ = \frac{1}{3} $$

解説

積分方程式と極限の計算問題です。 (1) の積分は、$\frac{y'}{y(1-y)}$ の形をしており、これはロジスティック微分方程式を変数分離した際に現れる代表的な形です。部分分数分解を用いて積分を容易に実行できます。 (2) の極限計算は、そのまま $a \to 0$ とすると $\frac{0}{0}$ の不定形になります。このような場合、関数を置いて微分の定義式 $\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x)$ の形を見出すことが定石です。極限の式を関数の差の形として認識できるかがポイントとなります。

答え

(1) $$ f(x) = \frac{e^{ax}}{e^{ax} + 2} $$

(2) $$ S(a) = \frac{\log(e^a + 2) - \log 3}{a} $$ $$ \lim_{a \to +0} S(a) = \frac{1}{3} $$