東北大学 2025年 理系 第4問 解説

方針・初手

共有点を $x=t\ (t>0)$ とおく。 「共有点で接線が一致する」とは、その点で関数値が等しく、かつ導関数も等しいということである。

したがって、まず

$$ f(t)=g(t),\qquad f'(t)=g'(t) $$

を立てて $t$ と $a$ を求める。 その後、2曲線の大小関係を調べて、面積 $S_n$ を積分で表す。

解法1

共有点を $x=t\ (t>0)$ とする。

$f(x)=n\log x,\ g(x)=ax^n$ であるから、

$$ f'(x)=\frac{n}{x},\qquad g'(x)=anx^{n-1} $$

である。

共有点で接線が一致するので、

$$ n\log t=at^n $$

および

$$ \frac{n}{t}=an t^{n-1} $$

が成り立つ。後式を整理すると、

$$ \frac{1}{t}=a t^{n-1} $$

より

$$ at^n=1 $$

を得る。これを前式に代入すると、

$$ n\log t=1 $$

したがって

$$ \log t=\frac{1}{n} $$

より

$$ t=e^{1/n} $$

である。さらに $at^n=1$ より、

$$ a=\frac{1}{t^n}=\frac{1}{e} $$

となる。

よって （1） の答えは

$$ a=\frac{1}{e} $$

である。

次に、面積を求める。

このとき

$$ f(x)-g(x)=n\log x-\frac{1}{e}x^n $$

であり、その導関数は

$$ (f-g)'(x)=\frac{n}{x}-\frac{n}{e}x^{n-1} =\frac{n}{x}\left(1-\frac{x^n}{e}\right) $$

となる。

ここで $t=e^{1/n}$ なので $t^n=e$ である。したがって、

• $0<x<t$ では $x^n<e$ だから $(f-g)'(x)>0$
• $x>t$ では $x^n>e$ だから $(f-g)'(x)<0$

である。よって $f(x)-g(x)$ は $x=t$ で最大となる。

しかも $x=t$ で $f(t)=g(t)$ であるから、

$$ f(x)-g(x)\leqq 0 \quad (x>0) $$

すなわち

$$ f(x)\leqq g(x) \quad (x>0) $$

であり、等号は $x=t$ のときのみ成り立つ。

また、$f(1)=n\log 1=0$ であり、$g(0)=0$ であるから、求める領域は

• $0\leqq x\leqq 1$ では $x$ 軸と $y=g(x)$ の間
• $1\leqq x\leqq t$ では $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の間

である。

したがって、

$$ S_n=\int_0^1 \frac{1}{e}x^n,dx+\int_1^t\left(\frac{1}{e}x^n-n\log x\right),dx $$

となる。

まず、

$$ \int_0^1 \frac{1}{e}x^n,dx=\frac{1}{e(n+1)} $$

である。

次に、

$$ \int_1^t \frac{1}{e}x^n,dx =\frac{1}{e}\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_1^t =\frac{1}{e(n+1)}(t^{n+1}-1) $$

である。ここで $t^n=e$ より $t^{n+1}=et$ だから、

$$ \int_1^t \frac{1}{e}x^n,dx =\frac{t-\frac{1}{e}}{n+1} $$

となる。

また、

$$ \int_1^t n\log x,dx =n\left[x\log x-x\right]_1^t $$

であり、$\log t=\frac{1}{n}$ を用いると、

$$ \int_1^t n\log x,dx =n\left(\frac{t}{n}-t+1\right) =n-(n-1)t $$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} S_n &=\frac{1}{e(n+1)}+\frac{t-\frac{1}{e}}{n+1}-\bigl(n-(n-1)t\bigr) \\ &=\frac{t}{n+1}-n+(n-1)t \end{aligned} $$

である。ここで $t=e^{1/n}$ を代入すると、

$$ S_n=\frac{n^2}{n+1}e^{1/n}-n $$

となる。

さらに整理すると、

$$ S_n =\frac{n^2e^{1/n}-n(n+1)}{n+1} =\frac{n^2\left(e^{1/n}-1-\frac{1}{n}\right)}{n+1} $$

である。

よって （2） の答えは

$$ S_n=\frac{n^2}{n+1}e^{1/n}-n $$

である。

最後に極限を求める。$x=\frac{1}{n}$ とおくと $x\to 0^+$ で、

$$ S_n=\frac{e^x-1-x}{x(1+x)} $$

と書ける。

ここで、

$$ \frac{e^x-1-x}{x} =\frac{e^x-1}{x}-1 \to 1-1=0 \quad (x\to 0) $$

であるから、分子は $o(x)$ である。したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{x\to 0^+}\frac{e^x-1-x}{x(1+x)} =0 $$

となる。

解説

この問題の核心は、「接線が一致する」という条件を関数値の一致と導関数の一致に翻訳することである。 そこから $at^n=1$ が出て、さらに $n\log t=1$ となるため、共有点の $x$ 座標と $a$ が一気に決まる。

面積では、単に積分する前に $f(x)$ と $g(x)$ の大小関係を確認することが重要である。 差 $f-g$ の増減を調べると、$x=t$ でのみ接し、それ以外では常に $g(x)\geqq f(x)$ であることが分かるので、囲まれた領域を正しく分割できる。

答え

$$ a=\frac{1}{e} $$

$$ S_n=\frac{n^2}{n+1}e^{1/n}-n $$

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=0 $$